Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden

The Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der
Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies

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Title: Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden

Author: Artur Schoenflies

Release Date : July 19, 2010 [EBook #33202]

Language : German

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EINFUHRUNG IN DIE

HAUPTGESETZE DER ZEICHNERISCHEN

DARSTELLUNGSMETHODEN

VON

ARTUR SCHOENFLIES

O. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER UNIVERSITÄT KÖNIGSBERG I. PR.

MIT 98 TEXTFIGUREN

LEIPZIG UND BERLIN
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER

1908

ALLE RECHTE
EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

Vorwort.

Die Kräftigung des räumlichen Vorstellungsvermögens und der
räumlichen Gestaltungskraft gehört unbestritten zu den wichtigsten
Zielen eines jeden geometrischen Unterrichts. Um sie zu erreichen, ist
für den Lehrenden wie für den Lernenden - - von Modellen abgese-
hen - - die Kunst guter zeichnerischer Darstellung unentbehrlich. So
selbstverständlich dies auch erscheinen mag, haben doch die mannig-
fachen Bemühungen der Hochschullehrer, den Studierenden die leichte
Ausübung dieser Kunst zu vermitteln, noch keineswegs vollen und all-
gemeinen Erfolg gehabt. Sicherlich muß der mathematische Unterricht
an den höheren Schulen darunter leiden. Ich habe den Wunsch, durch
meine Schrift an der Beseitigung dieses Mangels mitzuhelfen.

Das Gebiet der wissenschaftlichen darstellenden Geometrie hat all-
mählich eine so große Ausdehnung erfahren, daß jede Behandlung des
Stoffes sich auf eine Auswahl zu beschränken hat. Sie kann für den
Vertreter des höheren Lehrfachs eine andere sein als für den Techniker
und Architekten. Diese Erwägung ist für die Abfassung dieser Schrift
maßgebend gewesen; ihr Inhalt ist bereits mehrfach in Vorlesungen und
Übungen von mir nicht ohne Nutzen behandelt worden. Es erschien mir
zweckmäßig die Auswahl so zu treffen, daß sie so knapp wie möglich
ausfiel, und doch alles berücksichtigt, was für das zu erreichende Ziel
notwendig ist. Vor allem war es mein Streben, mich nur der allerelemen-
tarsten Mittel zu bedienen und doch in dem Leser neben der Kenntnis
der Methoden die volle Überzeugung von ihrer Richtigkeit zu erwecken.
Ich hoffe, daß sie jeder, der über die einfachsten geometrischen und ste-
reometrischen Sätze verfügt, mit Nutzen und ohne erhebliche Mühe
lesen kann.

Es gab eine Zeit, in der man an die Spitze geometrischer Bücher
den Ausspruch Steiners setzte »stereometrische Betrachtungen seien
nur dann richtig aufgefaßt, wenn sie rein, ohne alle Versinnlichungs-
mittel, durch die innere Vorstellung angeschaut werden«. Befinden wir
uns mit unseren heutigen Bestrebungen etwa in direktem Gegensatz
zu dieser Sentenz? — Ich glaube dies verneinen zu dürfen. Die Kräfti-
gung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist auch in ihr mittelbar
als Haupterfordernis enthalten, und als letztes und höchstes Ziel geo-
metrischer Ausbildung und Denkweise kann die Steinersche Forderung
auch heute noch bestehen bleiben. Die Frage ist nur, wie wir uns dem
in ihr gesteckten Ziel am besten annähern können. Ein Steiner, der als
sechsjähriger Knabe auf die Bemerkung des Lehrers, daß drei Ebenen

Vorwort. IV

eine Ecke bestimmen, sofort ausrief: »es gibt ja acht«, mochte aller-
dings Figuren und Modelle entbehren können; die glänzende räumliche
Intuition, die er besaß, gab ihm einen Ersatz dafür. Aber für das Genie
gelten besondere Regeln. Wir andern müssen uns auf andere Weise hel-
fen und sollen füglich jedes wissenschaftliche Hilfsmittel erfassen und
benutzen, das uns zu nützen vermag. Je besser es gelingt, kompliziertere
räumliche Gebilde durch richtig konstruierte und wirksam gezeichnete
Figuren zu unterstützen, um so besser, um so schneller und sicherer wird
Studium und Unterricht auf die räumliche Gestaltungskraft einwirken
können. Liegt doch dieser Weg auch im Interesse der sogenannten Öko-
nomie des Denkens, die wir heute als einen obersten Grundsatz jeder
wissenschaftlichen Betätigung zu betrachten pflegen.

Ein letztes Wort widme ich den Figuren. Die meisten sind vom
Herrn stud. math. Bluhm im Anschluß an Übungen, die ich kürzlich
gehalten habe, gezeichnet worden. Sie sind von ungleicher Anlage und
werden dadurch am besten erkennen lassen, welche Zeichnungsart das
Auge bevorzugt; es liebt starke Konturen und kräftige Hervorhebung
alles dessen, worauf es seine Aufmerksamkeit in erster Linie zu lenken
hat. Auch hängt die Anlage der Figur davon ab, ob sie einen guten
räumlichen Eindruck vermitteln soll, oder ob in ihr gewisse geometri-
sche Tatsachen in Evidenz treten sollen. Sicher sind die Figuren mehr
oder weniger auch der Vervollkommnung fähig; ich habe sie aber des-
halb so gelassen wie sie sind, um dem Leser durch ihren Vergleich ein
eigenes Urteil über die beste Zeichnungsart zu ermöglichen. So hoffe ich
auch, den Hauptzweck jeder Schrift über die Gesetze der zeichnerischen
Darstellungsmethoden am besten zu erreichen, nämlich die Kunst, mit
wenigen geeigneten und geeignet ausgeführten Strichen freihändig ein
gutes Bild eines räumlichen Gebildes zu entwerfen. Gerade das ist es,
was wir nötig haben und was die sichere Beherrschung der zeichneri-
schen Gesetze uns gewähren soll.

Endlich sage ich Herrn Oberlehrer Dr. Nitz für die freundliche Un-
terstützung bei der Korrektur, sowie dem Verlag für sein bekanntes
auch diesmal stets bewiesenes Entgegenkommen besten Dank.

Königsberg i. Pr., im September 1908.

A. Schoenflies.

Inhaltsverzeichnis

Seite

§ 1. Die Grundgesetze 1

§ 2. Die allgemeinen Gesetze für die zeichnerische Darstellung

ebener Gebilde 6

§ 3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen Darstellung. . . 9

§ 4. Die Grundgesetze der Perspektiven Beziehung 13

§ 5. Die parallelperspektive Lage 16

§ 6. Die unendlichfernen Elemente 21

§ 7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben 24

§ 8. Die allgemeinen Gesetze der ebenen Darstellung

räumlicher Figuren 28

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren. ... 31

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß 38

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß 45

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß 52

§ 13. Die Einführung neuer Projektionsebenen 59

§ 14. Die Axonometrie 63

§ 15. Der scheinbare Umriß 73

§ 16. Die stereographische Projektion 80

§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive 85

Annans; 92

1. Die Grundgesetze.

I. Das physiologische Grundgesetz. Der Entstehung unserer
Gesichtswahrnehmungen liegt folgende Tatsache zugrunde. Das Auge
besitzt die Fähigkeit, die Richtung zu empfinden, aus der die auf der
Netzhaut einen Sehreiz auslösenden Lichtstrahlen kommen. Diese Fä-
higkeit ist die wesentlichste Grundlage aller zeichnerischen Darstellung.
Physiologisch ist sie folgendermaßen bedingt. x )

1. Alle von einem Punkt P in das
Auge eintretenden Lichtstrahlen vereinigen
sich, nachdem sie durch die lichtbrechenden
Medien hindurchgegangen sind, in einem
Punkt P n der Netzhaut (Fig. 1) 2 ), und zwar
geht der Strahl PP n ungebrochen durch das
Auge hindurch. Dieser Strahl kann daher
als geometrischer Repräsentant aller übri-
gen Strahlen gelten; seine Richtung ist es,

die das Auge empfindet. Man bezeichnet ihn auch als den von P kom-
menden Sehstrahl.

2. Alle Sehstrahlen, die von irgend-
welchen Punkten P,Q,R . . . eines Kör-
pers £ ins Auge gelangen, gehen durch
einen festen Punkt K des Auges, der
auf seiner optischen Achse liegt und
Knotenpunkt heißt (Fig. 2). Sie bil-
den also einen Teil eines Strahlenbün-
dels mit dem Mittelpunkt K. 3 ) Das auf
der Netzhaut erzeugte, aus den Punk-
ten P n , Q n , R n , . . . bestehende Netzhautbild S n des Körpers £ ist daher
geometrisch als Schnitt der Netzhaut mit den Strahlen dieses Bündels
zu bezeichnen.

Hieraus ergibt sich bereits diejenige grundlegende geometrische Tat-
sache, der jede zeichnerische oder räumliche Abbildung £' eines Gegen-
standes £ zu genügen hat, wenn sie im Auge dasselbe Netzhautbild
entstehen lassen soll, wie der Körper E selbst. Aus 1. folgt nämlich

Fig. 2.

x ) Die folgende Darstellung enthält nur eine Annäherung an die wirklichen Ver-
hältnisse. Das Genauere findet man im Anhang, VI.

2 ) Die Figur ist nur schematised gezeichnet.

3 ) Als Strahlenbündel bezeichnet man die Gesamtheit aller durch einen Punkt
des Raumes gehenden geraden Linien oder Strahlen; der Punkt selbst heißt sein
Scheitel oder sein Mittelpunkt.

§ 1. Die Grundgesetze.

(Fig. 2), daß wenn P' ein lichtaussendender Punkt auf dem Sehstrahl
PP n ist, der zu P' gehörige Sehstrahl mit PP n identisch ist. Um also
ein Abbild S' herzustellen, das im Auge die gleichen Lichtempfindun-
gen erzeugt, wie der Gegenstand £ selbst, würde es an sich genügen,
jeden Punkt P von £ durch irgend einen Punkt P' des von P ausge-
henden Sehstrahls PP n zu ersetzen. Handelt es sich insbesondere um
ein ebenes Bild, was hier zunächst allein in Frage kommt, so ist der
Bildpunkt P' als Schnittpunkt des Sehstrahles PP n mit der Bildebene
zu wählen. Da nun gemäß 2. alle Sehstrahlen einem Strahlenbündel mit
dem Mittelpunkt K angehören, so ist das in der Bildebene entstehende
Abbild £' genauer als ihr Schnitt mit den Strahlen des ebengenannten
Strahlenbündels zu definieren. Also folgt:

I. Das Netzhautbild S n und das ebene Bild £' sind als Schnitte eines
und desselben Strahlenbündels mit der Netzhaut und der Bildebene an-
zusehen; der Mittelpunkt dieses Strahlenbündels liegt im Knotenpunkt
des Auges.

Die ebengenannten physiologischen Tatsachen stellen allerdings nur
eine Annäherung an den wirklichen Sachverhalt dar; überdies sind sie
für die Beurteilung und die richtige Deutung der Gesichtseindrücke
nicht allein maßgebend. x ) Die zeichnerischen Abbilder werden daher
nur solche Sinnes wahr nehmungen auslösen können, die den durch die
Gegenstände selbst vermittelten mehr oder weniger nahe kommen. Das
Auge ist aber ein höchst akkommodationsfähiges Organ. Wenn es auch
den Unterschied zwischen Bild und Gegenstand jederzeit erkennt, ist
doch seine Kunst, aus einem Bild die wirklichen Eigenschaften des
dargestellten Gegenstandes zu entnehmen, erstaunlich. 2 ) Andererseits
ist das Auge für gewisse Dinge auch ein strenger Richter. Abweichun-
gen von der Symmetrie und der Gesetzmäßigkeit einfacher Formen wie
Kreis, Ellipse usw. wird es sofort störend empfinden, überhaupt soll
man das Auge als den obersten Richter für die Beurteilung eines Bildes
ansehen, und Korrekturen, die von ihm verlangt werden, auch dann aus-
führen, wenn man eine den geometrischen Vorschriften entsprechende
Zeichnung hergestellt hat.

Das Auge stellt sich besonders leicht auf unendliche Sehweite ein,
also so, als ob sich der Gegenstand in unendlicher Entfernung befindet.
Physiologisch beruht dies darauf, daß diese Einstellung der Ruhelage

1 ) Vgl. Anhang, VI.

2 ) Eine ausführliche Würdigung dieser Verhältnisse findet man bei Helmholtz,
in dem Aufsatze: »Das Auge und das Sehen«, Populäre wissenschaftliche Vorträge,
Heft 2.

§ 1. Die Grundgesetze.

des Auges entspricht. Andererseits nähern sich die von einem Gegen-
stand £ ausgehenden Lichtstrahlen um so mehr dem Parallelismus, je
weiter er vom Auge entfernt ist. Dies bewirkt, daß Bilder, die man auf
Grund der Annahme paralleler Sehstrahlen herstellt, vom Auge eben-
falls leicht aufgefaßt werden. Diese Darstellung zeichnet sich überdies
durch Einfachheit aus und ist daher von besonderer Wichtigkeit.

II. Das geometrische Grund-
gesetz. Wir nehmen jetzt an, daß
auf einer Ebene ß, die wir uns vertikal
denken wollen, auf die vorstehend ge-
nannte Art ein Bild hergestellt werden
soll. Wir haben dazu jeden Sehstrahl,
der von einem Punkt P des Körpers
S ins Auge eintritt, mit der Bildebene
ß zum Schnitt zu bringen, und wollen
den so entstehenden Schnittpunkt wie-
der durch P' bezeichnen. Das geome-
trische Grundgesetz besagt nun, da&jeder Geraden g des Gegenstandes
£ eine Bildgerade g' des Bildes £' entspricht; genauer allen Punkten
A,B,C... von E, die auf einer Geraden g enthalten sind, solche Bild-
punkte A',B',C' . . ., die auf einer Geraden g' enthalten sind (Fig. 3).
Die Sehstrahlen, die von den Punkten A,B,C... der Geraden g ins
Auge gelangen, liegen nämlich sämtlich in einer Ebene, und zwar in
derjenigen, die g mit dem Punkt K verbindet; ihr Schnitt mit der
Ebene ß liefert die Bildgerade g' . Auf ihr liegen also auch die Punkte
Ä,B',C'....

Wir treffen noch einige Festsetzungen. Zunächst kann die Tatsache
außer Betracht bleiben, daß wir es mit Sehstrahlen zu tun haben; wir
fassen also diese Strahlen in ihrer geometrischen Bedeutung als gera-
de Linien auf und stellen sie uns überdies als unbegrenzt vor. Ebenso
ersetzen wir auch die Bildebene ß für die Ableitung der weiteren geome-
trischen Gesetze durch eine unbegrenzte Ebene. Den im Auge liegenden
Knotenpunkt K, also den Scheitel unseres Strahlenbündels, nennen wir
von nun an So, bezeichnen die auf der Ebene ß entstehende Figur £'
auch als Projektion des Gegenstandes £ auf ß, und nennen den Strahl
PSq, der durch seinen Schnitt mit ß die Projektion P' des Punktes P
liefert, den projizierenden Strahl des Punktes P. Der Punkt Sq, durch
den alle projizierenden Strahlen gehen, heißt Zentrum der Projektion,
und £' deshalb auch Zentralprojektion. x )

) Als Projektion bezeichnet die Sprache zwar auch den Prozess des Projizierens,
zumeist aber sein Ergebnis.

§ 1. Die Grundgesetze. 4

Wird die Zeichnung insbesondere so angefertigt, als ob sich das Auge
in unendlicher Entfernung befindet, so daß also alle Sehstrahlen einan-
der parallel werden, so sprechen wir von einer Parallelprojektion. Sie
heißt orthogonal, wenn die projizierenden Strahlen auf der Bildebene
senkrecht stehen, sonst schief.

III. Das zeichnerische Grundgesetz. Dieses Gesetz stellt eine
Art allgemeiner Vorschrift auf, nach der man das Bild eines Punktes
oder einer Geraden von S in der Ebene ß herzustellen pflegt. Sie zerfällt
in zwei Teile.

1. Das Bild einer Geraden g, die zwei Punkte A und B enthält,
bestimmen wir so, daß wir die Bildpunkte A' und B' zeichnen und
die Gerade g' ziehen, die beide verbindet. 2. Analog bestimmen wir
das Bild P' eines Punktes P in der Weise, daß wir uns durch P zwei
Geraden a und b legen und ihre Bildgeraden a' und b' zeichnen. Deren
Schnittpunkt ist der Bildpunkt P' von P.

Wir bestimmen also die Gerade als Verbindungslinie zweier Punkte
und den Punkt als Schnittpunkt zweier Geraden.

Freilich liegt in der vorstehenden Vorschrift
zunächst ein Zirkel. Praktisch schwindet er da-
durch, daß wir lernen werden, die Punkte A und
B und die Geraden a und b in bestimmter geeig-
neter Weise so anzunehmen, daß die Vorschrift
ausführbar wird. Hier beschränke ich mich auf
folgende vorläufige Bemerkungen:

Unter den Punkten, durch die wir eine Gera-
Fig_ 4_ de g räumlich bestimmen können, gibt es zwei,

die sich am natürlichsten darbieten, und die wir
deshalb als ausgezeichnete Punkte ansehen können. Der eine ist der
Punkt, in dem sie die Bildebene durchdringt, der andere ist ihr soge-
nannter unendlichferner Punkt 1 ) (Fig. 4). Der erste Punkt wird auch
Spur oder Spurpunkt der Geraden g genannt; wir bezeichnen ihn durch
G' . Offenbar fällt er mit seinem Bildpunkt zusammen. Man sieht zu-
gleich, daß hierin eine Eigenschaft aller Punkte der Bildebene zutage
tritt. Es besteht also der Satz:

IL Jeder Punkt der Bildebene fällt mit seinem Bildpunkt zusammen.

1 ) Eine ausführlichere Erörterung der unendlichfernen Punkte kann erst in § 6
gegeben werden.

§ 1. Die Grundgesetze.

Um den Bildpunkt des unendlichfernen Punktes G^ von g zu kon-
struieren, haben wir zunächst die Gerade SqGqo z u ziehen, also durch
So eine Parallele zu g zu legen, und dann ihren Schnitt mit der Bil-
debene ß zu bestimmen. Dieser Schnittpunkt ist der Bildpunkt G'^.
Wir wollen ihn kürzer durch G bezeichnen und ihn den Fluchtpunkt
der Geraden g nennen. l ) Der Fluchtpunkt einer Geraden ist also der-
jenige Punkt der Bildebene ß, der dem unendlichfernen Punkt dieser
Geraden entspricht. Auf seine zeichnerische Bestimmung kommen wir
noch näher zurück.

Ich schließe mit einer Bemerkung, die die Herstellung der Figuren
betrifft.

Um die räumliche Wirkung zu erhöhen, zeichnet man die Bilder
zweier windschiefer Geraden am besten so, daß sie sich nicht schnei-
den. Vielmehr soll die hintere Gerade (vom beschauenden Auge aus
gedacht) an der Stelle des geometrischen Schnittpunktes etwas unter-
brochen sein. Gerade dies bewirkt, daß das Auge sie als eine zusam-
menhängende, aber hinter der anderen liegende Gerade auffaßt. Diese
Zeichnungsart trägt außerordentlich zur körperlichen Wirkung der Bil-
der bei, wie man an den einzelnen Figuren erkennt. 2 )

1 ) Es ist also G der Fluchtpunkt und G' die Spur von g.

2 ) Vgl. den Anhang, VI.

Die allgemeinen Gesetze für die zeichnerische
Darstellung ebener Gebilde.

Wir behandeln zunächst die Herstellung der Bilder von ebenen Fi-
guren. Insbesondere wollen wir uns die gegebene Figur £ in einer ho-
rizontalen Ebene 7 liegend denken, die wir zur Fixierung der Begriffe
mit dem Fußboden zusammenfallen lassen und Grundebene nennen.
Die Bildebene, die wir uns, wie bereits erwähnt, vertikal denken, heiße
wieder ß. Endlich denken wir uns das Auge So vor der Bildebene ß
befindlich; die Figur S, von der auf ß ein Bild zu zeichnen ist, befindet
sich dann naturgemäß hinter der Bildebene.

Die Schnittlinie von 7 und ß soll Achse oder Grundlinie heißen; wir
bezeichnen sie durch a. Da sie eine Gerade von ß ist, so fällt sie (§ 1, II)
mit ihrer Bildgeraden Punkt für Punkt zusammen.

Wir beweisen nun zunächst den folgenden Satz:

I. Die Fluchtpunkte aller Geraden von 7 liegen auf einer zur Grund-
Urne parallelen Geraden, dem sogenannten Horizont.

Zum Beweise ziehen wir in
der Ebene 7 irgendeine Gerade
g und konstruieren ihren Flucht-
punkt. x ) Gemäß § 1 erhalten
wir ihn, indem wir durch Sq die
Parallele zu g legen und deren
Schnitt G mit der Bildebene ß
bestimmen. (Fig. 5) Diese Par-
allele liegt, welches auch die Ge-
rade g sein mag, in derjenigen
Ebene 770 die durch Sq parallel
zur Grundebene 7 geht, und die wir Augenebene nennen. Daher liegt
G auf der Schnittlinie dieser Ebene tjq mit ß, womit der Satz bewiesen
ist.

Die so bestimmte Gerade nennen wir den Horizont und bezeichnen
ihn durch h. Seiner Definition gemäß ist er Ort der Bildpunkte aller un-
endlichfernen Punkte von 7. Deren Gesamtheit bezeichnet die Sprache
als Horizont; als dessen Bildgerade heißt h ebenfalls Horizont.

Fig. 5.

1 ) Bei unserer Festsetzung über die Lage des Auges zur Bildebene kommt hier
nur derjenige Teil der Geraden g in Betracht, der hinter der Bildebene liegt. Näheres

m

6.

§ 2. Allgemeinen Gesetze für zeichnerische Darstellung ebener Gebilde. 7

Aus der Definition des Fluchtpunktes folgt unmittelbar, daß alle
parallelen Geraden g,gi,g2 ■ ■ ■ denselben Fluchtpunkt haben; für jede
von ihnen ergibt er sich als Schnittpunkt von ß mit dem nämlichen
durch 5*0 gezogenen Strahl. Also folgt:

IL Jeder Schar paralleler Geraden
9j9i>92--- der Grundebene entsprechen in der
Bildebene Geraden </, g[, g' 2 ■ ■ ., die durch einen
und denselben Punkt des Horizontes gehen.

Unter den Scharen paralleler Geraden von
7 nehmen vier eine bevorzugte Stellung ein;
die zur Bildebene normalen Geraden, die bei-
den Scharen, die mit ihr einen Winkel von 45°
einschließen, und die zu ihr parallelen Geraden. Fig. 6.

Für die zu ß normalen Geraden n erhalten
wir den Fluchtpunkt, indem wir von Sq ein Lot

auf ß fällen. (Fig. 6) Der Fußpunkt N ist der Fluchtpunkt; er heißt
Augenpunkt.

Die Fluchtpunkte der gegen ß unter 45° geneigten Geraden / und r
seien L und R. Sie heißen Distanzpunkte. Ihrer Definition gemäß bilden
nämlich SqL und SqR mit ß je einen Winkel von 45°, folglich ist

1) S N = NL = NR.

Die beiden Punkte L und R bestimmen
daher die Entfernung des Auges von der
Bildebene; hierauf beruht es, daß die
Richtungen l und r praktisch wie theo-
retisch als bevorzugte Richtungen auf-
zufassen sind.

Ist endlich p eine Gerade von 7, die
zur Bildebene, also auch zur Grundli-
nie a parallel ist, so gilt dies auch für
die Bildgerade p'. Für diese Geraden
besteht deshalb eine einfache metrische &• '•

Eigenschaft, die sich in folgenden Sät-
zen ausdrückt (Fig. 7).

1. Ist B der Halbierungspunkt der Strecke AC, so ist auch B' der
Halbierungspunkt von A'C.

§ 2. Allgemeinen Gesetze für zeichnerische Darstellung ebener Gebilde. 8

2. Sind A, B, C irgend drei Punkte von p, und A', B', C deren
Bildpunkte, so ist

2) AB : BC : CA = AB' : B'C : CA'.

Beides folgt unmittelbar aus dem bekannten Satz, daß irgend drei
durch denselben Punkt gehende Geraden von zwei sie kreuzenden Par-
allelen nach demselben Verhältnis geschnitten werden. Der Satz 1. ist
übrigens nur ein Spezialfall von 2.

Ist in der Bildebene außer den Distanzpunkten L und R auch die
Grundlinie a gegeben, so ist damit nicht allein die Entfernung des Au-
ges von der Bildebene, sondern auch seine Höhe über der Grundebene
bestimmt, und zwar können a, L und R beliebig angenommen werden.
Damit ist alsdann die Lage des Auges im Räume durch zeichnerische
Bestimmungsstücke festgelegt.

Um die Entfernung des Auges von der Bildebene zu bestimmen,
kann man übrigens statt L und R die Fluchtpunkte E und F irgend
zweier Geraden e und / von bekannter Richtung auf dem Horizont
h beliebig annehmen. Zieht man nämlich in der Augenebene 770 durch
E die Parallele zu e und durch F die Parallele zu /, so gehen beide
Parallelen durch Sq und bestimmen damit wieder die Lage des Auges
zur Bildebene. l )

v ) Man vgl. Fig. 5, in der man außer dem Fluchtpunkt G der Geraden g nur noch
den Fluchtpunkt einer Geraden anderer Richtung anzunehmen braucht.

3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen
Darstellung.

Eine Figur von 7, von der wir in ß ein Bild herstellen sollen, muß
geometrisch oder zeichnerisch gegeben sein; am besten auf demjenigen
Blatt, auf dem wir die Zeichnung wirklich ausführen. Hierzu drehen
wir die Ebene 7 um die Grundlinie a als Achse so lange, bis sie in die
Ebene ß hineinfällt, und zwar unter dasjenige Stück von ß, auf dem das
Bild entstehen soll. Beide Ebenen sind so auf demselben Zeichnungsblatt
vereinigt.

Durch diesen Kunstgriff wird die zeichne-
rische Herstellung des Bildes außerordentlich
erleichtert. Um nämlich zu einem Punkt P von
7 den Bildpunkt P' zu konstruieren, lege man
(Fig. 8) gemäß dem zeichnerischen Grundge-
setz von § 1 durch P je eine Gerade / und
r 1 ), und bestimme P' als den Schnittpunkt
der Bildgeraden V und r'. Diese beiden Bild-
geraden lassen sich unmittelbar zeichnen. Ist
nämlich V der Schnitt von / mit a, so ist L'
der Spurpunkt von /, seine Verbindung mit
dem Fluchtpunkt L liefert also die Bildgerade
V . Ebenso erhalten wir die Bildgerade r', wenn wir den Punkt R mit
dem Schnittpunkt R' von r und a verbinden.

In dem Vorstehenden ist die Hauptregel des praktischen Zeichnens
enthalten. Hat man in 7 insbesondere eine Figur, die irgendwie aus
Punkten und deren Verbindungslinien besteht, so wird man in der an-
gegebenen Weise zunächst die Bildpunkte zeichnen, und dann die Ver-
bindungslinien ziehen. Im übrigen wird man jedes Hilfsmittel, das ei-
ne Vereinfachung der Zeichnung gestattet, und jeden hierzu führenden
Kunstgriff gern benutzen. Ich mache besonders auf folgende Tatsachen
aufmerksam:

1. In erster Linie empfiehlt sich die Benutzung solcher Geraden von
7, die der Grundlinie parallel sind; denn ihre Bildgeraden sind gemäß
§ 2 ebenfalls zur Grundlinie parallel.

2. Enthält die Figur £ eine Reihe paralleler Geraden g, gi, g%. . .
(Fig. 5), so wird man zunächst zu einer, z. B. zu g, die Bildgerade g'
bestimmen; in ihrem Schnittpunkt mit dem Horizont h hat man dann

Fig. 8.

1 ) Man beachte die richtige Lage der in 7 enthaltenen Stücke von l und r in der
Zeichnungsebene. Es muß l nach links unten und r nach rechts unten gehen, damit
beide Geraden beim Zurückdrehen in die Ebene 7 in ihre richtige Lage kommen.

§ 3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen Darstellung. 10

sofort den Fluchtpunkt G dieser Geradenschar, und damit einen Punkt,
durch den alle Bildgeraden g[, g' 2 . . . hindurchgehen.

3. Hat man es mit einer Figur £ zu tun, die zwei ausgezeichnete
Richtungen hat, die übrigens beliebige Neigung gegen die Grundlinie
a haben können, so vereinfacht man sich die Zeichnung, indem man
von vornherein deren Fluchtpunkte statt L und R auf A als gegeben
annimmt. l )

4. Man beachte, daß die Wahl der Fluchtpunkte die Entfernung
des Auges von der Bildebene bestimmt. Da man einem Gegenstand,
von dem man einen guten Gesichtseindruck erhalten will, nicht zu nahe
stehen darf, so wird man, um gute Bilder zu erzielen, die Fluchtpunkte
demgemäß annehmen müssen. Erfahrungsgemäß ist es zweckmäßig, die
Distanz L N gleich der doppelten Höhe oder Breite des Gegenstandes
anzunehmen. 2 )

5. Um möglichst genaue Bilder zu erhalten, empfiehlt es sich, zeich-
nerische Überbestimmungen zu benutzen. Um z. B. zu einem Punkt P
den Bildpunkt P' zu bestimmen, kann man P als gemeinsamen Punkt
von drei durch ihn gehenden Geraden betrachten und zu ihnen die
Bildgeraden zeichnen; ist die Zeichnung vollkommen, so werden sie alle
drei durch einen Punkt gehen. 3 ) Die Genauigkeit der Zeichnung wird
auch dadurch erhöht, daß man zunächst solche Punkte bevorzugt, in
denen eine Symmetrie oder eine sonstige Regelmäßigkeit der Figur zum
Ausdruck kommt, wie dies bereits in § 1 erörtert wurde.

Nach den vorstehenden Regeln sind die fol-
genden Aufgaben behandelt worden, bei denen
wir außer a im allgemeinen L und R als gegeben
angenommen haben.

1. Den Fluchtpunkt einer Geraden g zu
zeichnen. (Fig. 9) Ist P ein Punkt von g, so lege
man durch P die Geraden / und r, konstruie-
re ihre Bildgeraden V und r', und verbinde ih-
ren Schnittpunkt P' mit dem Spurpunkt G', in

,,. ,, dem q die Achse a trifft. Diese Verbindungslinie

Fig. 9.

schneidet den Horizont h im Fluchtpunkt G.

1 ) Hier wird immei vorausgesetzt, daß wir die Lage des Auges beliebig annehmen
dürfen.

2 ) Freilich konnte dies bei den Figuren dieser Schrift mit Rücksicht auf den Platz
nicht immer geschehen.

3 ) In Fig. 8 gehen N P' und das von P auf a gefällte Lot durch denselben Punkt
der Achse.

§ 3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen Darstellung.

11

L N n

\

/

\

Fig. 10.

2. Das Bild einer quadratischen Teilung zu zeichnen, deren Linien
senkrecht und parallel zur Achse verlaufen. (Fig. 10) Die Diagonalen
unserer Teilung sind lauter Linien l und r; jeder Teilungspunkt ist also
ein Schnittpunkt je zweier solcher Geraden. Damit sind die Bildpunkte
unmittelbar bestimmbar, und ebenso deren Verbindungslinien.

Hier kann man auch die
zur Achse senkrechten Linien
n und ihren Fluchtpunkt N
statt der Linien / oder r be-
nutzen. Vor allem aber ist zu
beachten, daß jeder zur Achse
parallelen Geraden der Grun-
debene eine zur Achse paral-
lele Gerade der Bildebene ent-
spricht.

3. In 7 ist eine regulä-
re sechseckige Teilung gege-
ben; man soll ihr Bild zeich-
nen. (Fig. 11) Da die Sechseck-
teilung stets zwei bevorzugte Scharen paralleler Linien enthält, die nicht
zugleich der Achse parallel sind, wird man am besten tun, deren Flucht-
punkte als gegeben anzunehmen, und mit ihnen zu operieren, wie es
Figur 11 erkennen läßt. Auch hier wird man von vornherein suchen, die
Zeichnung öfters durch Überbestimmung zu kontrollieren, zumal wenn
die Teilung Parallelen zur Achse enthält.

4. Analog kann man die Zeichnung anderer Figuren ausführen. Als
Beispiele eignen sich besonders quadratische oder rechteckige Teilun-
gen, sowie irgendwelche mittels regelmäßiger Teilungen hergestellte Mu-
ster.

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Bereits in § 1 wurde er-
wähnt, daß eine an der Hand der geometrischen Vorschriften, ausgeführ-
te Zeichnung erhebliche Ungenauigkeiten aufweisen kann. Die Quelle
solcher Ungenauigkeiten liegt zum Teil darin, daß die zeichnerisch her-
zustellenden Punkte vielfach nur durch Vermittlung einer ganzen Reihe
von Linien (Geraden oder Kreisen) gewonnen werden. Dadurch können
sich die Fehler addieren. Sie können besonders dann sehr stark werden,
wenn man Punkte als Schnittpunkte von Geraden bestimmt, die einen
kleinen Winkel einschließen. Dies ist daher stets zu vermeiden. 1 )

1 ) In neuerer Zeit hat man sich auch der Präge zugewandt, wie man eine Figur
durch ein Minimum zeichnerischer Schritte (Anlegen des Lineals, Schlagen eines

§ 3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen Darstellung.

12

Fig. 11.

Kreises usw.) erhalten kann. Diese Untersuchungen, die wesentlich von E. Lemoi-
ne ausgehen, können ebenfalls zur Vereinfachung der Ausführung beitragen; vgl.
seine Schrift: Geometrographie ou art des constructions geometriques Paris 1902.
Allerdings steht hier auch die Genauigkeit der Zeichnung in vorderster Linie.

4. Die Grundgesetze der Perspektiven Beziehung.

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, den allgemeinen geometrischen
Inhalt der vorstehenden Ausführungen in kürze zu entwickeln. Dazu
lassen wir die Vorstellung fallen, daß die eine Ebene Grundebene, die
andere Ebene Bildebene war, betrachten beide Ebenen als geometrisch
gleichwertig und bezeichnen sie insofern durch e und e' . Zu ihnen fügen
wir wieder einen außerhalb von ihnen liegenden Punkt So (Fig. 12).

Ein durch den Punkt
5*0 gelegter Strahl p
trifft die Ebenen, e und
e' in zwei Punkten, die
wieder P und P' heißen
sollen, ebenso wird ei-
ne durch 5*0 gelegte Ebe-
ne 7q die Ebenen e und

e' in je einer Geraden g
und g' schneiden. Gemäß
dem allgemeinen Sprach-
gebrauch der Geometrie
ordnen wir die Punkte P
und P' und ebenso die
Geraden g und g' einan-
der zu, nennen sie entsprechende Elemente beider Ebenen, und sagen,
daß die Ebenen e und s' perspektiv aufeinander bezogen sind; den Punkt
So nennen wir das Zentrum der Perspektiven Beziehung.

Die Schnittlinie der beiden Ebenen e und e' hat wieder die Eigen-
schaft, daß jeder ihrer Punkte sich selbst entspricht; sie heißt Perspek-
tivitätsachse und soll jetzt durch s = s' bezeichnet werden.

Aus unserer Definition ergibt sich gemäß den Erörterungen von § 1
unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Grundgesetzes der Perspek-
tiven Beziehung:

I. Den Punkten A, B , C ,. . . einer Geraden g entsprechen Punkte A' ,
B' , C ,. . . der entsprechenden Geraden g' , und den Geraden g, h, k . . . ,
die durch einen Punkt P gehen, entsprechen Geraden g' , h! , k' . . . , die
durch den entsprechenden Punkt P' gehen.

§ 4- Die Grundgesetze der Perspektiven Beziehung. 14

Ferner ergibt sich, weiter für je zwei entsprechende Geraden g und
g' das Theorem:

IL Zwei entsprechende Geraden g und g' beider Ebenen schneiden
sich auf der Perspektivitätsachse.

Der Beweis folgt unmittelbar aus dem grundlegenden Satz, daß der
Scheitel einer dreiseitigen körperlichen Ecke zugleich Schnittpunkt ihrer
drei Kanten ist. Ihn wenden wir auf die Ecke an, die von e, e' und der
Ebene 7 gebildet wird, die g und g' enthält und durch So geht. Die
Kanten dieser Ecke sind die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen,
nämlich

s = (e, e'), g = 0, 7o), g' = 0', 7o)
mithin gehen s, g, g' in der Tat durch einen Punkt.

Auf derselben Tatsache beruht der Beweis eines weiteren Satzes,
aus dem wir zwar erst später Nutzen ziehen werden, der aber schon
hier eine Stelle finden möge.

Wir betrachten dazu eine dreiseitige Ecke mit dem Scheitel So, und
fassen ihre Schnitte mit den Ebenen e und e' ins Auge (Fig. 13). 1 ) Diese
Schnitte sind zwei Dreiecke; ihre Seiten, die a, b, c und a', b', d heißen
sollen, bilden je ein Paar entsprechender Geraden von e und s' . Nach
Satz II schneiden sich also je zwei entsprechende von ihnen in einem
Punkte von s. Die drei Punkte

A" = (a,a'), B" = (b,b'), C" = (c,d),

liegen daher auf der Geraden s. Dies ist unser Satz. Also folgt:

III. Satz des Desargues 2 ): Werden aus einer dreiseitigen Ecke durch
zwei Ebenen e und e' zwei Dreiecke ausgeschnitten, so treffen sich die
entsprechenden Seiten dieser Dreiecke in Punkten, die auf einer Gera-
den liegen, und zwar auf der Schnittlinie von e und e'.

Der Satz und sein Beweis bleiben gültig, wenn der Punkt So ins
Unendliche rückt, also die Ecke in ein dreiseitiges Prisma übergeht.
Dies folgt unmittelbar daraus, daß die Lage von So für den Beweis in
keiner Weise benutzt wird.

x ) Die Figur stellt zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen Prismas und
einer dreiseitigen Pyramide dar.
2 ) Vgl. den Anhang, VI.

4- Die Grundgesetze der Perspektiven Beziehung.

15

Für besondere durch den Punkt So gehende Ebenen bestehen wieder
Gesetze einfacher Art. 1 ) Ich führe zunächst die folgenden an:

1. Eine zur Achse s senk-
rechte Ebene u schneidet die
Ebenen e und e' in zwei eben-
falls zur Achse s senkrechten
Geraden n und n' .

2. Eine zur Achse s par-
allele Ebene itq schneidet die
Ebenen e und e' in zwei zu-
einander und zu s parallelen
Geraden p und p' .

3. Für drei Punkte A,
B, C einer solchen Gera-
den p und die entsprechenden
Punkte Ä, B', C von p' be-
steht die Relation

Fig. 13.

1)

AB: BC: CA = A'B': B'C: CA'

was sich ebenso ergibt wie die analoge Tatsache in § 2. Dem Halbie-
rungspunkt einer Strecke von p entspricht also wieder der Halbierungs-
punkt.

Ein besonderer Fall der Perspektiven Lage tritt dann ein, wenn die
Ebenen e und e' parallel sind. Dann sind je zwei entsprechende Geraden
parallel, und je zwei entsprechende Figuren einander ähnlich. Ebenen
dieser Art heißen ähnlich aufeinander bezogen.

1 ) Auf weitere durch Sq gehende Gerade und Ebenen besonderer Art kommen
wir in § 6 ausführlicher zurück.

§ 5. Die parallelperspektive Lage.

Rückt das Perspektivitätszentrum So ins Unendliche, so werden al-
le projizierenden Strahlen einander parallel, und die Figuren der einen
Ebene werden Parallelprojektionen von denen der anderen. In diesem
Fall nennen wir die Ebenen e und e' parallelperspektiv aufeinander be-
zogen. Für diese Lage bestehen gewisse einfachere Beziehungen, die uns
später nützlich sind, und die ich hier zunächst im Zusammenhang folgen
lasse. Sie ergeben sich meist als unmittelbare Folgen bekannter Satze
über parallele Linien und Ebenen.

1. Parallelen Geraden der einen Ebene entsprechen parallele Ge-
raden der anderen; einem Parallelogramm entspricht also wieder ein
Parallelogramm. x )

2. Die Relation 1) des vorigen Paragraphen gilt jetzt für je zwei
entsprechende Geraden g und g' beider Ebenen; sind also A, B, C drei
Punkte einer Geraden g, und A', B' , C ihre entsprechenden Punkte in
e', so ist stets

1) AB : BC : CA = AB' : B'C : CA'.

Man kann diese Relation auch in die Form

A'B' B'C _ CA' _
' ~ÄB ~ ~BC ~ ~CÄ~ ~ 6

setzen; sie sagt dann aus, daß jede Strecke von g' das £>fache der ent-
sprechenden Strecke von g ist. Je nach dem Wert von g erscheinen also
die Strecken einer jeden Geraden von e in e' nach einem konstanten
Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Wir nennen q den zugehörigen
Proportionalitätsfaktor.

3. Der Proportionalitätsfaktor g ist für die einzelnen Geraden im
allgemeinen verschieden; für alle zueinander parallelen Geraden hat er
den gleichen Wert. Sind nämlich g und / zwei parallele Geraden, von
e, und werden auf ihnen (Fig. 14) 2 ) die Punktepaare AB und CD so
angenommen, daß ABCD ein Parallelogramm ist, so ist auch A'B'C'D'
ein Parallelogramm, also A'B' = CD', und daher auch

A'B' _ CD'
~ÄB ~ CD '

1 ) Die Ebenen, die zwei parallele Geraden von e mit So verbinden, sind nämlich
in diesem Fall parallel und schneiden daher auch e' in parallelen Geraden.

2 ) Die Figur enthält zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen und eines vier-
seitigen Prismas. Diese ist also so zu zeichnen, daß Satz III von § 4 für jedes Paar
entsprechender Geraden erfüllt ist. Vgl. auch § 14, Beispiel 4.

§ 5. Die parallelperspektive Lage.

17

Fig. 14.

4. Da in der Schnittlinie s von e
und e' je zwei entsprechende Punk-
te vereinigt liegen, so hat der Pro-
portionalitätsfaktor für s den Wert
g = 1. Nach 3. gilt dies also auch
für jede zu s parallele Gerade.

5. Die Gesamtheit aller Strah-
len, die durch zwei entsprechende
Punkte P und P' gehen, nennen
wir entsprechende Strahlenbüschel.
Sind a, a! und 6, b' zwei Paare ent-
sprechender Strahlen, so werden die von ihnen gebildeten Winkel (ab)
und (a'b') im allgemeinen voneinander verschieden sein. Es liegt aber
nahe zu fragen, ob diese Winkel für gewisse Strahlenpaare einander
gleich sein können. Dies soll zu einem Teile beantwortet werden, und
zwar beweisen wir folgenden Satz:

I. In zwei entsprechenden Strahlenbüscheln der beiden Ebenen e und
e' gibt es stets ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen.

Dies ist zunächst für den Fall unmittelbar evident, daß die Rich-
tung der projizierenden Strahlen auf einer der beiden Ebenen, z. B.
auf e' senkrecht steht, daß es sich also um eine Orthogonalprojektion
(§ 1, II) handelt. In diesem Fall entsprechen sich nämlich sowohl die
beiden Strahlen, die durch P und P' parallel zur Achse s laufen, wie
auch diejenigen, die auf ihnen senkrecht stehen. Dies gilt auch dann
noch, wenn die Richtung der projizierenden Strahlen in eine zu s senk-
rechte Ebene fällt, sonst aber beliebig ist. Immer sind in diesen Fällen
die Geraden, die parallel und senkrecht zu s durch P und P' gehen,
entsprechende Geraden beider Ebenen und bilden daher entsprechende
rechte Winkel. l )

Wir haben den Beweis also nur noch für
den Fall zu führen, daß die von P und P' auf
s gefällten Lote keine entsprechenden Geraden
sind. Dazu erinnere man sich, daß sich je zwei
entsprechende Strahlen a und a' gemäß § 4, II
auf der Achse s schneiden. Sind also (uv) und
(mV) entsprechende rechte Winkel, so schnei-

J°'

^c

■//

ffa' s,
1/ Sit,

V

A\

w s

M-

Fig. 15.
den sich u und u' in einem Punkt U von s, und v und v' in einem

1 ) Die Geraden, die durch P und P' parallel zu
entsprechende Geraden.

laufen, sind übrigens stets

§ 5. Die parallelperspektive Lage. 18

Punkt V, und es sind UPV und UP'V rechte Winkel. Man drehe nun
(Fig. 15) die Ebene e' um die Achse s in die Ebene e hinein, so werden
unserer obigen Annahme gemäß P und P' nicht auf einer zu s senk-
rechten Geraden liegen. Andererseits liegen P und P' auf dem Kreis
mit dem Durchmesser UV. Damit sind aber U und V konstruierbar,
nämlich als Schnittpunkte von s mit demjenigen eindeutig bestimmten
Kreis, dessen Mittelpunkt M zugleich auf s und auf dem zu PP' gehö-
rigen Mittellot liegt. Es folgt noch, daß wenn P' nicht auf P fällt, es nur
ein solches Punktepaar U und V, also auch nur ein Paar entsprechender
rechter Winkel mit P und P' als Scheiteln geben kann. Damit ist der
Satz bewiesen. l )

6. Um zwei gegebene Ebenen e und e' parallelperspektiv, aufein-
ander zu beziehen, genügt es, einem beliebigen Punkt der einen Ebene
einen beliebigen Punkt der anderen als entsprechend zuzuweisen; denn
diese Punkte P und P' bestimmen durch ihre Verbindungslinie die Rich-
tung der projizierenden Strahlen und damit die Perspektive Beziehung.
Damit ist zu jedem Punkt Q der Ebene e der Bildpunkt Q' von e'
unmittelbar bestimmt und ebenso umgekehrt.

7. Wir wollen uns nun vorstellen, daß wir die Ebenen e und e' in
andere Lagen bringen, aber das durch die Perspektive Beziehung ver-
mittelte Entsprechen der Punkte und Geraden bestehen lassen. Dann
ist klar, daß die unter 1. bis 5. genannten Eigenschaften, da sie nur
die in e und e! vorhandenen Strecken und Winkel betreffen, unverän-
dert bestehen bleiben Dagegen wird die ebengenannte Möglichkeit, zu
einem Punkt Q der Ebene e den Bildpunkt Q' von e' zu konstruieren,
hinfällig. Ihr Ersatz besteht in folgendem Theorem:

IL Zu einem Punkt P der Ebene e kann man den Bildpunkt P'
zeichnerisch bestimmen, sobald drei Paare entsprechender Punkte A,
B, C und A' , B' , C bekannt sind.

Zieht man nämlich (Fig. 16 und 17) durch P je eine Parallele zu
den Seiten AB und AC, sind B\ und C\ ihre Schnittpunkte mit diesen
Seiten, und B' und C wieder deren Bildpunkte in e', so hat man

AB 1 : B 1 B = ÄB[: B[B',

Ad : C X C = ÄC[ : C[C,

) Fällt P auf P', so sind je zwei entsprechende Winkel beider Strahlenbüschel
einander gleich.

§ 5. Die parallelperspektive Lage.

19

Fig. 17.

Damit sind die Punkte B[ und C[ konstruktiv bestimmt. Man hat
daher nur noch durch B[ und C[ je eine Parallele zu A'C und A'B' zu
ziehen, und erhält in ihrem Schnittpunkt den Punkt P'. 1 )

8. Wichtig ist end-
lich noch, daß man zwei
Ebenen e und e' in
parallelperspektive La-
ge bringen kann, wenn
man weiß, daß die un-
ter 1. bis 5. genannten
Eigenschaften für sie er-
füllt sind; es reicht sogar

schon die Kenntnis eines Teiles dieser Eigenschaften hin. Es besteht
nämlich der Satz:

III. Sind zwei Ebenen so aufeinander bezogen, daß für sie die un-
ter 1. und 2. genannten Eigenschaften bestehen, und daß in ihnen min-
destens ein Paar entsprechender Geraden existiert, für das der Propor-
tionalitätsfaktor den Wert g = 1 hat, so können sie in parallelperspek-
tive Lage gebracht werden.

Ist nämlich s und s' ein Ger adenpaar, für das g = 1 ist, so daß also
für drei Paare seiner Punkte A, B, C und A', B', C die Gleichungen

AB = A'B', BC = B'C, CA = CA'

bestehen, so bringe man e und e' irgendwie in eine solche Lage (Fig. 18),
daß s' auf s fällt, und A', B', C auf A, B, C, was möglich ist. Dann ist,
wie sich zeigen wird, die parallelperspektive Lage bereits hergestellt. Ist
nämlich a eine Gerade von e, die durch den Punkt A von s geht, und
sind Ai, A 2 , A 3 . . . irgendwelche Punkte auf ihr, so geht auch a' durch
A, und man hat überdies gemäß 2). die Relation

AA X : A X A 2 : A 2 A 3 . . . = AÄ X : A[A' 2 : A' 2 A' 3 . . .

Daher bilden die Verbindungslinien AiA' l7 A 2 A' 2 , A 3 A' 3 . . . ein Büschel
paralleler Strahlen.

Denkt man sich nun die beiden Ebenen e und e' durch Strahlen der
so bestimmten Richtung parallelperspektiv aufeinander bezogen, und
bezeichnet den so zu einem jeden Punkt P zugeordneten Punkt zu-
nächst durch P", so ist nur noch zu zeigen, daß P" mit P' identisch
ist. Dazu verbinde man P mit einem Punkt B von s und einem Punkt

l ) Man kann offenbar irgend zwei entsprechende Seiten der Dreiecke ABC und
A' B'C' zu diesem Zweck benutzen.

§ 5. Die parallelperspektive Lage.

20

A n von a so, daß PBAA n ein Parallelogramm ist, dann ist nach Vor-
aussetzung auch P'BAA' n ein Parallelogramm, und ebenso ist gemäß 1.
P" BAA !l n ein Parallelogramm. Da nun A' n mit A" n identisch ist, so gilt
dies auch für P' und P", womit der Beweis erbracht ist. x )

9. Hieraus folgern wir endlich
noch, daß zwei Ebenen, denen die im
Satz III vorausgesetzten Eigenschaf-
ten zukommen, auch alle übrigen in
diesem Paragraphen genannten Eigen-
schaften besitzen.

Fig. 18.

Vgl. den Anhang, VI.

§ 6. Die unendlichfernen Elemente.

Die Theorie der sogenannten unendlichfernen Elemente hat sich im
Anschluß an die Lehre von der Perspektiven Beziehung entwickelt. Wir
werden daher ebenfalls diesen Weg einschlagen und gehen zu der in § 4
erörterten Perspektiven Beziehung zurück. Naturgemäß soll es sich hier
in erster Linie um eine systematische Darlegung handeln.

Sei po ein zur Ebene e paralleler Strahl des Strahlenbündels 5*0, so
ist er zu e' nicht parallel und wird daher e' in einem Punkt P' schnei-
den, während ein eigentlicher Schnittpunkt mit e nicht vorhanden ist. 1 )
Die in § 4 dargelegte Grundlage der Perspektiven Beziehung, die jedem
Punkt der einen Ebene einen Punkt der anderen zuordnet, erleidet also
für den Strahl p zunächst eine Ausnahme. Wir beseitigen sie, indem wir
auch zwei parallelen Geraden einen und nur einen gemeinsamen Punkt
beilegen; wir nennen ihn ihren unendlichfernen Punkt. Die Bedeutung
und die Tragweite dieser Festsetzung erhellt aus folgendem.

Zunächst folgern wir, daß allen einander parallelen Geraden derselbe
unendlichferne Punkt beizulegen ist. Ist nämlich G^ der gemeinsame
Punkt zweier parallelen Geraden g und g\ und ist auch g 2 zu g parallel,
so haben unserer Festsetzung gemäß auch g und g 2 ihren unendlichfer-
nen Punkt gemein, und da es für jede Gerade nur einen geben soll, so
geht sowohl g\ als auch g 2 durch G^ hindurch.

Nun denke man sich in der Ebene e irgendeine Gerade p gezogen, die
zu dem oben angenommenen Strahl p parallel ist, so haben auch diese
beiden Geraden ihren unendlichfernen Punkt gemein; es geht also po
durch den unendlichfernen Punkt P^ von p hindurch. Die obenerwähnte
Ausnahmestellung des Strahles po ist damit beseitigt; er hat jetzt mit
s und e' je einen Punkt gemein, nämlich P' und Poo und ordnet auch
diese Punkte einander zu.

Übrigens ist, was zu bemerken ist, der zu P' so zugeordnete Punkt
Poo davon unabhängig, welche zu po parallele Gerade von e wir zu
seiner Definition benutzen; in der Tat gehen alle diese Geraden durch
denselben Punkt P^ hindurch.

Sei nun wieder (Fig. 19) tjq diejenige durch So gehende Ebene, die zu
e parallel ist, so wird sie e' in einer Geraden hl schneiden, während eine
Schnittlinie mit e zunächst fehlt. Um diese Ausnahme zu beseitigen,
legen wir auch den Ebenen e und T]q eine ihnen gemeinsame Gerade bei,
die wir ihre unendlichferne Gerade nennen und durch h^ bezeichnen.
Wie oben, folgern wir zunächst wieder, daß alle zueinander parallelen
Ebenen dieselbe unendlichferne Gerade enthalten.

Die Bezeichnung weicht in diesem Paragraph von der früheren ab.

§ 6. Die unendlichfernen Elemente.

22

Fig. 19.

Wesentlich ist weiter, daß die so
eingeführte unendlichferne Gerade
hoo die allgemeine Eigenschaft be-
sitzt, die einer Schnittlinie zweier
Ebenen zukommt, daß sie nämlich
Ort aller in e enthaltenen unend-
lichfernen Punkte ist. Falls nämlich
wieder p irgendeine Gerade von e
ist, und po der durch So gehende
zu p parallele Strahl, so liegt po in
?7o, und daher gehört der Punkt P^,
den po m it £ gemein hat, zu den
Punkten, die rj ü mit e gemein hat; er ist also in der Tat ein Punkt
von hoo ■ Der Schnittpunkt P' von p mit e' liegt aus demselben Grund
auf h! . In Übereinstimmung mit § 2 bezeichnen wir h! als die Fluchtlinie
von e'.

Ebenso kann man in der Ebene e' eine unendlichferne Gerade k'^
definieren; sie entspricht der Geraden k von e, in der e von der zu
e' parallelen durch So laufenden Ebene geschnitten wird, und die die
Fluchtlinie von e darstellt.

Man folgert endlich noch unmittelbar den folgenden Satz:

I. Bei parallelperspektiver Beziehung zweier Ebenen e und e' ent-
spricht dem unendlichfernen Punkt einer Geraden g von e der unend-
lichferne Punkt ihrer Bildgeraden in e' , und der unendlichfernen Gera-
den von e die unendlichferne Gerade von e'.

Die so eingeführten unendlichfernen Punkte und Geraden bezeich-
net man auch als uneigentliche Elemente.

Ihre allgemeine Bedeutung ist die, daß sie für die Geometrie eine
ähnliche Rolle spielen, wie die irrationalen oder komplexen Zahlen für
die Arithmetik. Sie verbürgen die Ausnahmslosigkeit der Grundgesetze
und bewirken dadurch die Abgeschlossenheit des Lehrgebäudes. Ich will
dies für die einfacheren grundlegenden Sätze hier ausführen. x )

Beschränken wir uns auf eine Ebene, so gelten jetzt für sie aus-
nahmslos die folgenden Sätze:

1. Zwei Geraden bestimmen einen Punkt, nämlich ihren Schnitt-
punkt, und 2. zwei Punkte bestimmen eine Gerade, nämlich ihre Ver-
bindungsgerade.

Vgl. den Anhang, VI.

§ 6. Die unendlichfernen Elemente. 23

Sind nämlich im ersten Fall beide Geraden eigentliche Geraden, so
haben sie entweder einen endlichen oder einen unendlichen Punkt ge-
mein; ist aber eine der beiden Geraden uneigentlich, so hat sie mit der
eigentlichen Geraden deren unendlichfernen Punkt gemein.

Sind zweitens von den Punkten beide eigentlich, so bestimmen sie ei-
ne eigentliche Gerade, und ebenso erhellt, daß zwei uneigentliche Punk-
te die unendlichferne Gerade als Verbindungslinie bestimmen. Ist end-
lich der eine Punkt ein eigentlicher Punkt P, und der andere ein unei-
gentlicher Punkt Qoo, so ist dieser seiner Definition gemäß der unend-
lichferne Punkt einer Geraden q bestimmter Richtung, und die durch
P zu q gezogene Parallele ist die Verbindungslinie beider Punkte. Die
Grundgesetze bleiben also in der Tat für die uneigentlichen Punkte und
Geraden in Kraft. Hiermit ist zugleich die Berechtigung ihrer Einfüh-
rung nachgewiesen. Zugleich erfährt so das in § 1 aufgestellte zeichne-
rische Grundgesetz eine nachträgliche Motivierung.

In ähnlicher Weise kann man auch für den Raum uneigentliche Ele-
mente definieren und die Permanenz der Grundgesetze für sie darlegen.
Ich beschränke mich auf die Angabe der grundlegenden Festsetzungen.
Diese sind:

1. Alle zueinander parallelen Geraden haben einen und denselben
uneigentlichen Punkt miteinander gemein, nämlich ihren unendlichfer-
nen.

2. Alle zueinander parallelen Ebenen haben eine und dieselbe unei-
gentliche Gerade miteinander gemein, nämlich ihre unendlichferne.

3. Alle zu einer Geraden parallelen Ebenen enthalten den unend-
lichfernen Punkt dieser Geraden.

4. Alle die Geraden und Ebenen, die gemäß den Sätzen 1. und 3.
durch einen unendlichfernen Punkt hindurchgehen, hat man als die
sämtlichen Strahlen und Ebenen eines Strahlenbündels anzusehen, des-
sen Scheitel So sich ins Unendliche entfernt hat. Die Parallelperspektive
erscheint also auch bei dieser Betrachtung als derjenige Spezialfall der
allgemeinen Perspektive, bei dem der Scheitel ins Unendliche gerückt
ist.

5. Die Gesamtheit aller unendlichfernen Punkte und Geraden des
Raumes hat man als die unendlichferne Ebene des Raumes einzufüh-
ren. 1 )

Vgl. den Anhang, refanhang:7.

7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben.

Für die folgenden Zwecke denken wir uns die Ebene e wieder hori-
zontal und e' vertikal, und fassen zunächst die Achse, die Fluchtlinien
und die unendlichfernen Geraden ins Auge. Sie bilden drei Paare ent-
sprechender Geraden, nämlich (Fig. 20)

1. hoc, h', 2. s = s' und 3. k, k'^.

Diese Geraden teilen die Ebenen e und e' in drei entsprechende Teile,
die wir durch I, II, III und I', II', III', bezeichnen wollen. Wir denken
uns nun, daß eine Figur E' sich in der Ebene e' bewegt, und betrachten
die Bewegung der entsprechenden Figur E in e. Sobald die Figur E' die
Fluchtlinie h! erreicht, wird sich die entsprechende Figur E in e zunächst
bis ins Unendliche dehnen, und wenn E' die Fluchtlinie h! überschreitet,
also aus dem Teil I' in den Teil III' übertritt, wird E das Unendliche
durchsetzen und ebenfalls teils zu I teils zu II gehören, also scheinbar
in zwei getrennte Stücke zerfallen. Die Permanenz der Gesetze, die wir
für beide Ebenen zugrunde legen, führt uns aber dazu, auch die Figur
der Ebene e durch das Unendliche hindurch als zusammenhängend zu
betrachten. Dies ist nichts anderes als was wir in § 6 für die Gerade g
einführten; auch sie soll im Punkte Goo ebenso zusammenhängen, wie
die Bildgerade g' im Fluchtpunkt G l ). Hiervon wollen wir nun einige
Anwendungen machen.

Sei zunächst K' ein im Gebiet II' von
e' enthaltener Kreis, so wird ihm in der
Ebene e eine im Gebiet II enthaltene El-
lipse entsprechen; die sämtlichen Strah-
len, die den Punkt So mit den Punkten
von K' verbinden, bilden nämlich einen
Kegel zweiter Ordnung, und sein Schnitt
mit der Ebene e stellt die ebengenannte
Ellipse dar 2 ). Wenn wir jetzt den Kreis
^S- ^. j£i so annehmen, daß er die Fluchtlinie

h! berührt, so wird die in e gelegene Ellipse in eine Parabel übergehen,

r

*o

£'

1 ) Die zueinander parallelen Geraden g, g\, g% . . . von e bezeichnet man deshalb
auch als Parallelstrahlenbüschel und nennt G m seinen Scheitel. Die ihnen entspre-
chenden Geraden bilden in e' einen gewöhnlichen Strahlcnbüschel mit dem Seheitel
G.

2 ) Ich setze als bekannt voraus, daß jeder Kegel, der durch Projektion eines Krei-
ses vom Punkte Sq aus entsteht, durch eine Ebene in einer Kurve zweiter Ordnung
geschnitten wird.

§ 7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben.

25

und wenn K' die Fluchtlinie h! kreuzt, so erhalten wir in e eine Hyper-
bel. Wir haben uns also vorzustellen, daß auch Parabel und Hyperbel
geschlossene Kurven sind, daß die Parabel von der unendlich fernen
Geraden berührt wird, und daß die beiden Äste der Hyperbel im Un-
endlichen zusammenhängen. Die Einheitlichkeit der Auffassung wird
hierdurch außerordentlich gesteigert. Überhaupt besteht der allgemei-
ne Nutzen der Perspektiven Betrachtung darin, daß wir lernen, in den
verschiedenen Einzelfällen das Gleichbleibende und Unveränderliche zu
erkennen und die Einzelfälle zu einer höheren Einheit zusammenzufas-
sen.

Es leuchtet ohne weiteres ein, daß wir die vorstehenden Tatsachen
benutzen können, um analog zu § 3 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
zeichnerisch herzustellen; nur tritt für die praktische Ausführung eine
kleine Modifikation ein. Wir wollen nämlich, wie eben geschehen ist,
den gegebenen Gegenstand in der Ebene e' liegend annehmen, und in e
die ihm entsprechende Figur herstellen. Dabei gehen wir wieder so zu
Werke, daß wir die Ebene e um die Achse s in die Zeichnungsebene e'
hineingedreht denken, haben aber nun, um zu einem Punkt P' von e'
den ihm entsprechenden Punkt P von e zu finden, die in § 3 angegebe-
ne Vorschrift in umgekehrter Reihenfolge auszuführen. Sind also jetzt
(Figur 8, S. 9) P', L und R gegeben, so ziehen wir zunächst l' = LP'
und r' = LR', bestimmen die Schnittpunkte mit s, und ziehen durch sie
unter 45° die Geraden / und r, die in ihrem Schnittpunkt den Punkt P
liefern. In dieser Weise sind die folgenden Figuren gezeichnet worden.

z

N

C

Jl-

-j -^

>

fcfrg

c

C L

fr

X

\jsr ß

vi

w/

jA

t?'

SB

jRffl

Fig. 21.

Fig. 22.

Fig. 23.

Die Figuren 21, 22 und 23 enthalten die dem Dreiecke A'B'C ent-
sprechenden Dreiecke ABC der Ebene e. Sie entstehen unmittelbar,
indem man zu A'B'C in der ebengenannten Art die Bildpunkte kon-
struiert 1 ). In Fig. 22 liegt eine seiner Ecken im Unendlichen, in Fig. 23

1 ) Die Hilfslinien sind in den Figuren nachträglich wieder getilgt worden. Übri-
gens sind auch die nicht sichtbaren Punkte A für die Zeichnung benutzt worden.

§ 7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben.

26

zieht sich die Dreiecksfläche mit der Spitze C durch das Unendliche
hindurch; man zeichnet es am besten so, daß man auf A'C und B'C
je einen Punkt D' und E' beliebig auswählt und deren Bilder D und E
konstruiert. Damit sind die Richtungen von AG und BC bestimmt.

Ich schließe mit einigen Winken, die die Zeichnung von Ellipse, Para-
bel und Hyperbel betreffen. Die Zeichnung kann zunächst in der Weise
erfolgen, daß man zu einer Reihe von Punkten des Kreises die ihnen
in e entsprechenden Punkte konstruiert, und die diese Punkte verbin-
dende Kurvenlinie annäherungsweise herstellt. Um ein möglichst gutes
Kurvenbild zu erhalten, können folgende Hinweise dienen (Fig. 24):

1. Den beiden zur Ach-
se parallelen Tangenten p'
und p[ des Kreises ent-
sprechen zwei zur Achse
parallele Tangenten p und
P\ des Kegelschnitts; soll-
te der Kreis die Flucht-
linie h' berühren, so daß
der Kegelschnitt eine Pa-
rabel ist, so ist eine dieser
Kegelschnitttangenten die
unendlichferne Gerade.

2. Dem Kreisdurch-
messer d', der die Be-
rührungspunkte der eben-
genannten Tangenten ent-
hält, entspricht deshalb ein
Durchmesser d des Kegel-
schnitts.

3. Einer Sehne A'B'
des Kreises, die auf die-
sem Durchmesser d senk-
recht steht, entspricht ge-
mäß § 4 eine Sehne AB des
Kegelschnitts, die durch
den Durchmesser d hal-

°' ' biert wird.

4. Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, so erhält man den zu d kon-
jugierten Durchmesser d\ und die zu d parallelen Tangenten t und t\
der Ellipse wie folgt. Da t und t\ unter sich und mit d parallel sind, so
schneiden sich die entsprechenden Tangenten t' und t[ des Kreises auf

§ 7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben. 27

der Fluchtlinie h! und gehen insbesondere durch den Schnitt von h! und
dl. Diese beiden Kreistangenten sind aber in e' leicht konstruierbar. Man
hat daher nur die ihnen in e entsprechenden Geraden zu bestimmen,
und auf ihnen noch die Punkte P und Q, die den Berührungspunkten
P' und Q' der Kreistangenten entsprechen.

5. Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, und sind E' und F' die Punk-
te, in denen der Kreis K' die Fluchtlinie kreuzt, so entsprechen den
Kreistangenten in E' und F' die Asymptoten der Hyperbel.

Eine zweite Methode besteht darin, die Kurven als Enveloppen ih-
rer Tangenten aufzufassen, und zu einer Reihe von Kreistangenten die
Bildgeraden zu zeichnen. In allen Fällen wird man übrigens auf die
Symmetrie der Figuren in erster Linie bedacht sein und alle Vorteile
benutzen, die aus ihr fließen (vgl. § 3, 5). l )

1 ) Es ist sehr zu empfehlen, die Zeichnung von Parabel und Hyperbel selbst
auszuführen, sowohl nach der ersten, wie nach der zweiten Methode. Man kann
übrigens auch beide Methoden verbinden.

§ 8. Die allgemeinen Gesetze der ebenen
Darstellung räumlicher Figuren.

Die allgemeinen Gesetze und Vorschriften von § 1 gelten ihrer Ablei-
tung nach auch, für die zeichnerische Darstellung beliebiger räumlicher
Figuren. Wir werden daher auch im Baum Punkte und Geraden als die
einfachsten Gebilde betrachten, mit denen wir zeichnerisch operieren,
stellen den Punkt wieder als Schnitt zweier durch ihn gehender Geraden
und die Gerade als Verbindungslinie zweier ihrer Punkte, insbesonde-
re von Spur und Fluchtpunkt dar, und suchen zunächst wieder solche
Geraden, denen besonders einfache zeichnerische Eigenschaften zukom-
men. Die Bildebene ß denken wir uns nach wie vor vertikal. Unter den
horizontalen Ebenen des Raumes wählen wir eine aus, die den Fußboden
darstellen soll, und die wir die Grundebene 7 nennen; ihre Schnittlinie
mit der Bildebene heiße wieder Grundlinie und werde durch a bezeich-
net. Die Gerade von ß, die die Fluchtpunkte aller in der Grundebene
liegenden Geraden enthält, nennen wir wieder den Horizont h; er hat
die gleiche allgemeine Bedeutung wie in § 2. Insbesondere behalten auch
die Punkte N, L, R ihre in § 2 dargelegte theoretische und praktische
Bedeutung. Zusammen mit der Grundlinie a sind sie diejenigen in der
Zeichnungsebene ß enthaltenen geometrischen Elemente, die die Lage
des Auges zum Bild und zur Grundebene festlegen, und zwar ebenso wie
in § 2.

Als zeichnerisch ausgezeichnete Geraden können wir -- abgesehen
von den Geraden l und r - - solche betrachten, die zu einer der bei-
den Ebenen ß und 7 parallel oder senkrecht verlaufen. Über sie gilt
folgendes 1 ):

1. Der Fluchtpunkt einer zu 7 parallelen Geraden g liegt auf dem
Horizont h. Denn in 7 gibt es eine zu g parallele Gerade g\ , und gemäß
§ 6 haben alle zueinander parallelen Geraden denselben unendlichfernen
Punkt, also auch denselben Fluchtpunkt.

2. Ist p eine Gerade, die zu ß parallel ist, so ist die Bildgerade
p' zu p parallel. Dies folgt unmittelbar daraus, daß p und p' in einer
durch Sq gehenden Ebene tto liegen, und ihr gemeinsamer Punkt auch
gemeinsamer Punkt von ß und p ist.

Für zwei solche Geraden p und p' gelten daher auch die Sätze
1). und 2). von § 2; sie bestehen ja für je zwei entsprechende parallele
Geraden. Für solche Geraden geht also der Halbierungspunkt wieder in
den Halbierungspunkt über.

Man vergleiche die Figuren 5 bis

§ 8. Allgemeinen Gesetze der ebenen Darstellung räumlicher Figuren. 29

Ist p insbesondere horizontal, so ist auch p' horizontal; horizonta-
le Linien, die zur Bildebene parallel sind, bleiben also auch im Bilde
horizontal.

3. Sei v eine Gerade, die auf 7 senkrecht steht. Eine solche Gerade
ist zu ß parallel, und damit steht gemäß 2). auch die Bildgerade v' auf
7 senkrecht. Dies ist aber, da v' in ß liegt, nur so möglich, daß v' auf
der Grundlinie a! senkrecht steht. Jeder Geraden v entspricht also eine
zu a senkrechte Gerade v'; vertikale Linien bleiben also auch im Bilde
vertikal. In der Tat erscheint alles Vertikale dem Auge ebenfalls vertikal.

4. Sei endlich n eine zu ß senkrechte Gerade. Sie ist alsdann zu 7
parallel und eine Gerade der ersten Gattung, hat aber noch einige be-
sondere Eigenschaften. Zunächst ist ihr Fluchtpunkt der Augenpunkt
N . Ihr Spurpunkt N' spielt ebenfalls die Rolle eines ausgezeichneten
Punktes; sein Abstand von der Grundlinie bestimmt nämlich unmittel-
bar die Höhe der Geraden n über der Grundebene (Fig. 25); er liegt
also über, auf oder unter dem Horizont h, je nachdem die Gerade n
über, auf oder unter der Augenebene rjo liegt 1 ).

5. Eine besondere Rolle spielen endlich

auch diejenigen Geraden des Raumes, die ^n.

durch Sq gehen. Allen ihren Punkten ent- ^x/'V.

spricht auf ß derselbe Punkt, nämlich ihr fi i/V^A

Durchdringungspunkt mit ß. Fragt man nun, ""v~ 1 \^ ]

was diese Geraden zeichnerisch bedeuten, so ^n. ' "^v.

ist die Antwort sehr leicht. Sie sind sozusa- ^ Ns O-' ^"^

gen verbotene Gebilde. Man wird sich bei der „. or

r ig. 25.
Betrachtung eines Körpers kaum so stellen,

daß Geraden des Körpers als Punkte erscheinen; man wird daher auch

für die Zeichnung die Stellung des Auges nicht so wählen, daß dies

eintritt. 2 )

Liegt der Punkt So im Unendlichen, haben wir es also mit einer
Para//e/projektion zu tun, so kommen noch einige weitere einfache Ei-
genschaften hinzu.

Erstens besteht jetzt für je drei Punkte A, B, C einer jeden Geraden
und ihre Bildpunkte die Relation 2) von § 2, also

AB: BC: CA = AB': B'C: CA',

1 ) Die Geraden p, v, n stellen drei zueinander senkrechte Richtungen dar, was
ebenfalls ihre bevorzugte Benutzung erklärt.

2 ) Für Darstellungen, die nur die Bedeutung konstruktiver Hilfsmittel besitzen,
geschieht dies allerdings doch. Vgl. § 12.

§ 8. Allgemeinen Gesetze der ebenen Darstellung räumlicher Figuren. 30

und es geht der Halbierungspunkt in den Halbierungspunkt über; han-
delt es sich insbesondere um eine zur Bildebene parallele Gerade p, so
geht die Proportionalität in Gleichheit über. Jede zu ß parallele Strecke
ist also ihrem Bilde gleich.

Sind zweitens g und gi parallele Geraden, so sind auch ihre Bildge-
raden in ß einander parallel, was eines Beweises nicht bedarf.

Auf diesen Tatsachen beruht die leichtere Herstellbarkeit und damit
auch die Bevorzugung der Bilder, die nach den Methoden der Parallel-
projektion, hergestellt werden. Ihre zeichnerische Zweckmäßigkeit liegt,
wie in § 1 erwähnt wurde, darin, daß es dem Auge besonders leicht wird,
sich auf unendliche Sehweite einzustellen. Es ist sehr zu empfehlen, bei
der Betrachtung der Parallelprojektionen dem Auge diese Einstellung
zu geben; man wird dann leicht den Eindruck der Körperlichkeit erhal-
ten. (Vgl. auch S. 64 Anm. 1.)

9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen

Figuren.

Um das ebene Bild einer räumlichen Figur S zeichnerisch herzustel-
len, denken wir uns zunächst wieder die Bildebene ß durch Drehung um
die Achse in die Grundebene 7 hineingedreht, in derselben Weise wie in
§ 3; auch nehmen wir wieder die Grundlinie a, sowie die Distanzpunkte
L und R als gegeben an. Alle in § 2 und 3 abgeleiteten Regeln und Sätze
bleiben dann unmittelbar für denjenigen Teil der Figur £ bestehen, der
in der Grundebene 7 enthalten ist. Also folgt als erstes Resultat:

I. Diejenige Teilfigur von S, die in der Grundebene enthalten ist,
ist nach den Vorschriften von § 3 zeichnerisch bestimmbar.

Da die Grundebene 7 in § 8 beliebig gewählt werden konnte, über-
trägt sich dies sofort auf jede horizontale Ebene, vorausgesetzt, daß
man mit ihr ebenso operiert, wie mit der Grundebene 7. Dazu ist of-
fenbar notwendig und hinreichend, daß die Schnittlinie dieser Ebene
mit ß (und selbstverständlich die in ihr enthaltene Teilfigur) bekannt
ist. Nennen wir sie ihre Spur, so folgt:

IL Jede in einer horizontalen Ebene liegende Teilfigur von £ kann
gemäß § 3 gezeichnet werden, sobald ihre Spur in ß bekannt ist.

Diese Spur ist eine horizon-
tale Gerade; sie ist daher be-
stimmt, sobald man einen ih-
rer Punkte kennt. Einen sol-
chen Punkt stellt z. B. der
Durchdringungspunkt einer in
ihr liegenden Geraden mit der
Bildebene ß dar.

Beachten wir noch, daß je-
de Vertikale des Gegenstandes
£ gemäß § 8 im Bilde vertikal
bleibt, so können wir bereits
einfachere Beispiele erledigen.
Ein solches bilden die neben-
stehend gezeichneten Würfel
(Fig. 26), von denen zwei bis
an die Bildebene heranreichen.
Die in der Bildebene liegenden

Fig. 26.

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren. 32

Flächen ABCD und BCFE stellen sich daher in ihrer natürlichen Grö-
ße dar. Die Ecken S, T, U, V des oberen Würfels sollen in die Mitten
der Quadrate fallen, auf denen er steht.

In Anlehnung an § 3 (Fig. 10) können wir die Zeichnung in diesem
Fall sogar direkt ausführen, ohne die in der Grundebene und den andern
Horizontalebenen vorhandenen Teilfiguren zu benutzen. Wir zeichnen
zunächst das der Grundebene entsprechende Bild in der gleichen Wei-
se wie bei Figur 10. x ) Gemäß Satz II verfahren wir dann ebenso mit
der Ebene, die die Bildebene in der Geraden DCF schneidet. Wir ver-
binden also die Punkte C, D, F mit L, N und R, ziehen durch die
Schnittpunkte die Parallelen zur Achse, und erhalten so das Bild der
oberen vier Würfelflächen; übrigens kann man für ihre Zeichnung auch
den Umstand benutzen, daß je zwei Punkte der oberen und der unteren
Flächen auf einer Vertikalen liegen. 2 ) Da die Mitten S, T, U, V dieser
Würfelflächen zugleich vier Ecken des obersten Würfels sind, hat man
nur noch dessen obere Fläche WXYZ zu zeichnen. Deren Ecken liegen
zunächst wieder auf den durch S, T, U, V gehenden Vertikalen. Wir
bestimmen nun noch die Bildgeraden der in dieser Fläche enthaltenen
Diagonalen WY und XZ, deren Fluchtpunkte R und L sind. Dazu sind
nur ihre Spuren P und Q zu ermitteln; wir erhalten sie unmittelbar,
indem wir die Kanten AD und EF um sich selbst bis P und Q verlän-
gern. Die so bestimmten Geraden liefern in ihrem Schnitt mit den eben
genannten Vertikalen bereits die Punkte W, X , Z und Y . Eine Über-
bestimmung liegt darin, daß W, X und Z, Y auf je einer Parallelen zur
Achse liegen.

Ähnlich kann man auch eine Reihe von Würfeln zeichnen, die so
hinter einander liegen, daß ihre Grundflächen ein Rechteck bilden.

Wir erörtern nun die allgemeine Frage, wie wir das Bild P' eines
gegebenen Raumpunktes P in ß zu zeichnen haben. Dies kann offen-
bar auf verschiedene Art geschehen, je nach der Wahl der Geraden,
als deren Schnitt wir ihn betrachten. Drei Fälle wollen wir besonders
hervorheben:

1. Zunächst betrachten wir ihn als Schnittpunkt einer zu 7 senk-
rechten Geraden v und einer zu ß senkrechten Geraden n (Fig. 27). Sei
P\ der Schnitt von v mit 7, P 2 der von n mit ß, und P1P0 das von P^
auf die Grundlinie gefällte Lot, so bilden die vier Punkte PP1P0P2 ein
Rechteck, und es ist

1) PPi = P2P0.

1 ) Die nicht sichtbaren Linien sind nachträglich getilgt worden.

2 ) Zur Kontrolle der Zeichnung wird man dies immer benutzen; vgl. § 3, 5.

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren.

33

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Fig. 28.

Fig. 29.

Diese einfache Tatsache läßt uns leicht erkennen, daß wir die Bildge-
raden v 1 und n' und damit auch den Bildpunkt P' von P zeichnen
können, sobald uns seine Projektion P x und die Höhe PPi gegeben sind
(Fig. 28). Die Bildgerade v' ist nämlich, erstens senkrecht zur Grundli-
nie a (nach § 8) und zweitens geht sie durch den Bildpunkt P[ von P 1?
der gemäß I bestimmbar ist; sie ist also selbst zeichnerisch bestimmt.
Ferner geht die Gerade n' erstens durch den Augenpunkt TV und zwei-
tens durch den Punkt P2, der ihr Durchdringungspunkt mit ß ist, und
infolge der Relation 1) ebenfalls zeichnerisch bestimmt ist. Damit ist
die Behauptung bewiesen. Wir erhalten also folgende Konstruktions-
vorschrift.

III. Um das Bild eines Punktes P zu zeichnen, dessen Projektion P\
in der Grundebene und dessen Höhe PP\ über der Grundebene bekannt
sind, zeichne man gemäß § 3 den Bildpunkt P[ von P\ ziehe durch P[
die Gerade v' senkrecht zur Grundlinie, bestimme auf dem von P\ auf
die Grundlinie gefällten Lot P±Po den Punkt P 2 , so daß P0P2 = PP\
ist, und verbinde endlich P 2 mit dem Augenpunkt N , so schneidet diese
Verbindungslinie n' die Gerade v' im Bildpunkt P' .

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren. 34

Ein Beispiel einfachster Art ist das folgende. Eine quadratische Säu-
le von gegebener Höhe zu zeichnen, deren Grundfläche in der Grunde-
bene liegt (Fig. 29). Sei ABCD die untere und EFGH die obere Fläche
unserer Säule; wir wollen sie so annehmen, daß AB der Achse parallel
laufe. Wir zeichnen dann gemäß § 3 das Bild A'B'C'D', errichten in A'
eine Vertikale v', fällen von A das Lot AAq auf die Achse, verlängern es
um die gegebene Höhe bis A2, verbinden A2 mit dem Augenpunkt N,
und erhalten im Schnitt dieser Verbindungslinie mit v' den Bildpunkt
E' . Ebenso kann man die Punkte F', G' und H' zeichnen. Man beachte
zugleich, daß E'F' und G'H' zur Achse parallel sind; man kann also
G' und H' einfacher als Schnitt dieser Parallelen mit den in C' und D'
errichteten Vertikalen finden 1 ).

2. Enthält die Figur S Scharen von parallelen
horizontalen Geraden, die nicht auf der Bildebene ß
senkrecht stehen, so liegt es nahe, sie in der gleichen
Weise zu benutzen, wie die Geraden n; analog zu
dem, was wir am Schluß von § 2 ausgeführt haben.
Fig. 30. I* 1 der Tat läßt sich die obige Regel ohne weiteres

auf alle Richtungen verallgemeinern, die zur Grun-
debene parallel sind. Man betrachte also jetzt (Fig. 30) den Punkt P
als Schnittpunkt einer Geraden v mit einer zur Grundebene parallelen
Geraden /; P\ sei wieder der Schnitt von v mit 7, und F 2 derjenige von
/ mit ß. Zieht man nun in 7 durch P\ eine zu / parallele Gerade /1 und
nennt ihren Schnitt mit der Grundlinie Fq, so ist PP1F0F2 wieder ein
Rechteck, also PP\ = F^F^. Alles übrige ergibt sich wie oben. Mithin
ergibt sich folgende Regel (Fig. 31).

IV. Ist der Fluchtpunkt F einer zur Grundebene parallelen Geraden
f bekannt, so kann man das Bild eines Punktes P, dessen Projektion P\
in der Grundebene und dessen Höhe PP\ über der Grundebene bekannt
sind, wie folgt konstruieren. Man zeichne gemäß § 3 den Bildpunkt P[
von P\ ziehe durch P[ die Gerade v' senkrecht zur Grundlinie und durch
Pi eine zu f parallele Gerade f\, errichte in ihrem Schnittpunkt F
mit der Grundlinie ein Lot F F 3 gleich P\P , und verbinde F 3 mit dem
Fluchtpunkt F von f , so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade
v' im Bildpunkte P' .

3. Eine dritte oft brauchbare Regel erhalten wir folgendermaßen.
Sei e eine zweite horizontale Gerade, deren Fluchtpunkt E bekannt ist,

l ) Man kann auch F' selbst so zeichnen; der Genauigkeit halber wird man aber
auch mit B' N operieren.

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren.

35

so gilt das vorstehende auch für sie. Die beiden zu / und e zugehöri-
gen Punkte F 2 und E 2 liegen daher auf einer zur Grundlinie parallelen
Geraden, und zwar stellt diese Gerade den Durchschnitt von ß mit der
Ebene dar, die durch P parallel zur Grundebene verläuft. Daraus folgt
sofort (Fig. 32):

X,

Jff F

\

^_^^-^jf

N.

j***~i

*^J/ X

J?

2

"s

v'/

\

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/ \

f %

JTi. S "~

/£& *"j

\? /%

Fie. 31.

Fig. 32.

V. Kennt man die Spur d einer zur Grundebene parallelen Ebene
5 mit der Bildebene ß, sowie die Fluchtpunkte E und F zweier ho-
rizontalen Richtungen e und f , so kann man das Bild eines Punktes
P von S, dessen Projektion P\ in der Grundebene bekannt ist, folgen-
dermaßen zeichnen. Man ziehe durch P\ je eine zu e und f parallele
Gerade, bestimme ihre Schnittpunkte E und F mit der Grundlinie,
errichte in ihnen die Lote E Q E 3 und F F 9 bis zum Schnitt mit der Spur
d, verbinde E 2 mit E und F 2 mit F , und erhält im Schnittpunkt dieser
Verbindungslinien den Bildpunkt P' .

Diesen Satz wird man besonders dann mit Vorteil anwenden, wenn
es sich um die Zeichnung einer in der Ebene 5 enthaltenen Teilfigur von
S handelt. Man sieht leicht, daß die Art, in der wir die Figur 26 herstell-
ten, bereits der in ihm enthaltenen Regel entspricht. Übrigens dienen
die verschiedenen Möglichkeiten, die den Sätzen I, II, III entsprechen,
der stets notwendigen zeichnerischen Überbestimmung.

In dieser Weise wollen wir folgende Aufgaben behandeln.

1. Einen parallelepipedischen Kasten darzustellen, dessen Grundflä-
che ABCD in der Grundebene enthalten ist; AiB\C\Di sei die obere
zu ABCD kongruente Fläche. (Figur 33.)

Man nehme die Fluchtpunkte E und F der Geraden AB = e und
AC = f willkürlich an, und zeichne mit ihnen zunächst wieder das Bild
A'B'C'D 1 von ABCD. Dann errichte man in den Punkten, in denen die

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren.

36

_£"^-

ß?^F

b 't

A'

5

-5

%
i
i

i

i

E J /

Fig. 33.

Seiten von ABCD die Grundlinie schneiden, Vertikalen gleicher Länge
(die die Kastenhöhe darstellt), und verbinde ihre Endpunkte mit den
Fluchtpunkten E und F, so ergibt sich unmittelbar das Bild der oberen
Fläche AiB\C\Di des Kastens. Eine Überbestimmung besteht darin,
daß die Kanten A'A[, B'B[, C'C[ und D'D 1 , vertikal sind.

Wird nun noch innerhalb ABCD das Rechteck RSTU gezeichnet,
so kann man in gleicher Weise das Bild R' 1 S[T[U[ der oberen Fläche
und die von ihm nach unten gehenden inneren Kanten zeichnen.

2. Einen auf der
Grundfläche stehenden
Tisch zu zeichnen. Auch
hier wird am einfachsten
mit den Fluchtpunkten
der Tischkanten operiert;
die Ausführung selbst ist
aus der Figur unmittelbar
zu entnehmen (Fig. 34).

3. Ähnlich zeichnet
man auch einige neben-
einanderstehende sechs-
eckige Säulen gegebener

Höhe. Hier können zunächst die Fluchtpunkte zweier Sechseckseiten
willkürlich gewählt werden.

Fig. 34.

§ 9. Die zeichnerische Darstellung der räumlichen Figuren. 37

Für alle diese Figuren hat man die in § 3 angegebenen Bemerkungen
über die Kontrolle der Zeichnung zu beachten. l )

1 ) Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Punkte und Geraden des Bildes
erhält, ist stets Sache des Zeichners, bedarf also, um die Zeichnung möglichst zu
kürzen, in jedem Fall besonderer Erwägung.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und

Aufriß.

Zur Darstellung weniger einfacher Raumfiguren reichen die vorste-
henden Methoden nicht mehr aus; hierzu bedürfen wir neuer Hilfsmit-
tel. Zu diesem Zweck müssen wir der Frage näher treten, wie man über-
haupt eine Raumfigur S durch zeichnerische Daten, die in der Zeich-
nungsebene enthalten sind, in ihrer räumlichen Lage und Gestalt be-
stimmen kann; denn andere als zeichnerische Bestimmungsarten kom-
men für uns nicht in Frage.

Dies geschieht durch Grundriß und Aufriß. Ähnlich wie in der ana-
lytischen Geometrie gehen wir von zwei zueinander senkrechten Koor-
dinatenebenen aus, auf die wir alle Punkte des Raumes der Lage nach
beziehen. Sind P± und P 2 die Projektionen von P in diesen Ebenen
(vgl. Fig. 27, S. 33), so ist P eindeutig bestimmt, wenn die Lage von P\
und P 2 gegeben ist, und zwar als Schnittpunkt der beiden in P\ und P2
auf diesen Ebenen errichteten Lote. Die Ebenen sollen Projektionsebe-
nen heißen und durch 7Ti und ir 2 bezeichnet werden. Die eine denken
wir uns wieder horizontal und nennen sie Grundrißebene oder erste
Projektionsebene, die andere, die vertikal ist, nennen wir Aufrißebene
oder zweite Projektionsebene. Ihre Schnittlinie nennen wir wieder Ach-
se und bezeichnen sie durch a. Wird jeder Punkt und jede Gerade einer
Raumfigur S auf diese beiden Ebenen orthogonal projiziert, so entsteht
in der Grundrißebene der Grundriß oder die Grundrißprojektion, in der
Aufrißebene der Aufriß oder die Aufrißprojektion. Die Grundebene 7
und die Bildebene ß stellen ein Paar solcher Ebenen dar.

Da Grundriß und Aufriß Parallelprojektionen
sind, so gelten für sie alle Sätze, die wir am Schluß
von § 8 für solche Projektionen abgeleitet haben.
Sie können daher auch selbst als geometrische Bilder
räumlicher Objekte gelten, und kommen auch viel-
mals als solche in Betracht. Hier soll jedoch wesent-
lich nur ihre Verwendung für die zeichnerische Her-
, )r Stellung des perspektivischen Bildes in der Bildebene

ß erörtert werden.
Wir denken uns dazu in gewohnter Weise die Grundrißebene um.
die Achse in die Aufrißebene umgelegt, und leiten zunächst eine ele-
mentare, aber grundlegende Eigenschaft für die so entstehende Figur
ab. Sie beruht darauf, daß die Ebene der drei Punkte PP 1 P 2 auf der
Achse a senkrecht steht; ist also Po ihr Schnitt mit a, so ist PPiP P 2
ein Rechteck. Bei der Umlegung der Grundrißebene bleibt daher PqP 2

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß. 39

zur Achse senkrecht, und es fallen deshalb Pi, Po? P2 nach erfolgter
Umlegung in eine Gerade (Fig. 35); d. h.:

I. Die Verbindungslinie der beiden Projektionen P\ und P 2 schneidet
die Achse a senkrecht. l )

Liegt P insbesondere in der Grundrißebene, so ist P mit P\ iden-
tisch, während P 2 auf P fällt; ebenso fällt P\ in P , falls P in der
Aufrißebene liegt, also mit P 2 identisch ist. 2 )

In den einfachsten Fällen kann die Herstellung von Grundriß und
Aufriß ohne weiteres ausgeführt werden. Dies zeigen folgende Beispiele:

1. Grundriß und Aufriß einer quadratischen Pyramide zu zeich-
nen, deren Grundfläche in der Grundebene steht. Der Grundriß besteht
(Fig. 36) aus dem Quadrat AiB\C\Di und seinen sich in 0\ schneiden-
den Diagonalen, die die ersten Projektionen der Kanten darstellen. Im
Aufriß fallen A 2 , P 2 , C2, P2 in die Achse, während die Spitze 2 auf
der durch 0\, gehenden Vertikalen beliebig angenommen werden kann.

2. Grundriß und Aufriß eines regulären Oktaeders so zu zeichnen
(Fig. 37), daß eine Hauptdiagonale auf der Grundrißebene senkrecht
steht. Sei ABCDEF das Oktaeder und AF diese Haupt diagonale.

Wir können das Oktaeder als eine Doppelpyraramide mit der
Grundfläche BCDE und der Höhe AF betrachten und erkennen so-
fort, daß der Grundriß aus dem zu BCDE kongruenten Quadrat
B\C\DiEi und seinen Diagonalen besteht; im Mittelpunkt des Qua-
drates fallen A\ und F\ zusammen. Die Lage von B\C\D\E\ in der
Grundebene wählen wir beliebig.

Um die Aufrißprojektion zu zeichnen, wollen wir zunächst festset-
zen, daß der Punkt A in der Grundebene enthalten ist; dann fällt A 2
auf die Achse a. Da die Höhe AF zur Aufrißebene parallel ist, so ist
A 2 P 2 = AF; damit ist auch der Punkt P 2 bestimmt. Endlich fallen

1 ) Diese Verbindungslinie pflegt meist punktiert gezeichnet zu werden. Vgl. die
Anm. 1 auf S. 46.

2 ) Für unsere Zwecke kommen nur solche Raumfiguren E in Betracht, die sich
vom Auge aus hinter der Bildebene und über der Grundebene befinden; die Lage
von P\ und P2, ist alsdann immer so, daß Pj unter und P 2 über der Achse liegt. Läßt
man allgemeinere Lagen von X zu, so können auch P\ und Pi andere Lagen in der
Zeichnungsebene annehmen. Dies bleibt aber hier außer Betracht; für die dadurch
bedingten Verhältnisse muß ich auf die ausführlicheren Lehrbücher verweisen. Dort
pflegt man sich den Gegenstand im allgemeinen vor der Aufrißebene stehend zu
denken, nimmt die Grundrißebene als Zeichnungsebene und legt die Aufrißebene in
die Grundrißebene um. Alsdann sind diejenigen Teile des Gegenstandes im Aufriß
stark zu zeichnen, die von der Aufrißebene den größten Abstand haben; vgl. den
Schluß von § 10.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß.

40

Fig. 36.

die Projektionen B2, C2, Di-, Ei sämtlich in eine zur Achse a parallele
Gerade, die A 2 F 2 halbiert. x )

3. Ein Parallelepipedon beliebi-
ger Stellung in Grundriß und Aufriß
zu zeichnen.

Wir haben zunächst zu über-
legen, wie man die räumliche La-
ge eines Parallelepipedons überhaupt
festlegt. Man kann dazu einen Punkt
A des Raumes und drei von ihm
ausgehende Kanten AB, AC, AD
beliebig annehmen; aus ihnen ent-
steht das Parallelepipedon durch blo-
ßes Ziehen von Parallelen. Handelt es
sich also nur darum, irgendein Paral-
lelepipedon zu zeichnen -- und dies
soll hier der Fall sein --so kann man (Fig. 38) die Projektionen A\,
Bi, C\, Di und A2, B2, C%, D2 beliebig wählen (naturgemäß in Über-
einstimmung mit Satz I); die Projektionen der übrigen Punkte ergeben
sich aus ihnen durch Ziehen der noch fehlenden Parallelen, wie die Figur
es erkennen läßt.

Um nun aus Grundriß und Aufriß in der
Ebene ß das Bild E' einer Raumfigur E zu
zeichnen, treffen wir zunächst die naheliegende
Festsetzung, daß die Bildebene ß zugleich als
Aufrißebene und die Grundebene 7 als Grund-
rißebene betrachtet werden sollen. Grundlinie,
Horizont und Distanzpunkte betrachten wir
wieder als gegeben. Ferner genügt es, die Her-
stellung des Bildpunktes P' für einen belie-
bigen Punkt P zu leisten, und zwar naturge-
mäß wieder unter der Voraussetzung, daß wir
die Grundrißebene in die Aufrißebene hinein-
gedreht haben. Die Aufgabe, die zu lösen ist, ist also die, aus dem in der
Zeichnungsebene gegebenen Grundrißpunkt P\ und dem ebenso gege-
benen Aufrißpunkt P2 den Bildpunkt P' zu finden. Hierzu hat man sich
aber nur zu vergegenwärtigen, daß die Lote PP\ und PP2 eine Gerade
v und eine Gerade n im Sinne von § 9 darstellen (Fig. 26), und daß die
hier benutzten Punkte P± und P2 mit den dort eingeführten identisch

l ) Die von E ausgehenden Kanten sind nicht gezeichnet, sie sind unsichtbar. Dies
wirkt stärker räumlich als die Figur 36.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß. 41

sind. Infolgedessen überträgt sich auch die dort unter III gegebene Re-
gel auf den vorliegenden Fall; sie vereinfacht sich noch dadurch, daß
hier der Punkt P 2 bereits bekannt ist. Also folgt (Fig. 27).

IL Um aus der Grundrißprojektion Pj und der Aufrißprojektion Pi
eines Punktes P den in der Aufrißebene liegenden Bildpunkt P' zu er-
halten, zeichne man zunächst gemäß § 3 den Bildpunkt P[ von P x ziehe
durch ihn eine Vertikale und verbinde P 2 mit dem Augenpunkt N , so
ist der Schnittpunkt beider Geraden der Punkt P' .

Einen zweiten nützlichen Satz erhalten wir, indem wir an den Satz V
von § 9 anknüpfen. Er betrifft die Zeichnung einer Figur PQ . . . , die
in einer zur Grundebene parallelen Ebene 7' enthalten ist, und fließt
unmittelbar aus der Erwägung, daß die dort benutzte Spur d der Ebe-
ne 7' diejenige Gerade ist, auf der die Aufrißprojektionen P2, Q2 ■ ■ ■
liegen. Sind also wieder E und F die Fluchtpunkte zweier horizontalen
Richtungen e und /, so folgt für die Konstruktion der Bilder solcher
Punkte folgende Regel:

III. Durch die Grundrißprojektionen P 1; Qi . . . der Punkte P, Q . . .
lege man je eine Gerade e und f , wie in § 9, übertrage deren Schnitt-
punkte mit der Achse a lotrecht auf die Gerade, die die Aufrißprojek-
tionen P2, Q2 ■ ■ ■ enthält, und verbinde die so entstehenden Punkte mit
den Fluchtpunkten E und F, so liefern diese Geraden in ihren bezügli-
chen Schnittpunkten die Bildpunkte P' , Q' . . .

Als Beispiel behandeln wir die Zeichnung einer geraden Pyramide
mit quadratischer Grundfläche und quadratischem Sockel; die Grund-
fläche falle in die Grundrißebene 7.

Sei ABCD die Grundfläche und EFGH die obere Fläche des
Sockels, UVWZ die untere Fläche der Pyramide und O ihre Spitze.
Dann besteht der Grundriß (Fig. 39) aus den beiden ineinander lie-
genden Quadraten AiBiC\Di und U\V\WiZi, und den Diagonalen
des inneren, und zwar ist A\B\C\D-y zugleich die Grundrißprojektion
des Quadrats EFGH. Die Lage dieser Quadrate in der Grundrißebene
haben wir beliebig gewählt; man beachte aber, daß damit die Stellung
der Pyramide zur Bildebene festgelegt ist. Der Aufriß ergibt sich un-
mittelbar auf Grund davon, daß die zweiten Projektionen der Quadrate
in je eine zur Achse a parallele Gerade fallen; die Höhe des Sockels und
der Pyramide haben wir beliebig angenommen 1 ).

1 ) Sind sie gegeben, so beachte man, daß sie sich in der Aufrißebene gemäß § 5
in ihrer natürlichen Größe darstellen.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß.

42

Um nun das Bild der
Pyramide in der Bildebe-
ne ß zu zeichnen, nehme
man den Horizont h und
die Fluchtpunkte E und
F der Quadratseiten be-
liebig an l ) , und konstru-
iere zunächst das Bild
AB' CD' der Grundflä-
che ABCD gemäß § 3.
Dann zeichne man ge-
mäß dem vorstehenden
Satz II die Punkte E',
F', G', H' und ebenso
die Punkte U', V, W,
Z'. Den Punkt O' haben
wir jedoch mittels des
Augenpunktes TV gemäß
Satz I konstruiert. Die-
sen müssen wir aber erst
bestimmen. Wir erhalten
ihn z. B. als Fluchtpunkt
der Geraden -B1-B2, indem wir also B2B' mit dem Horizont h zum
Schnitt bringen. Die von ihm ausgehende Gerade NF2 liefert für ihn
eine Überbestimmung. 2 )

Analog hat man zu verfahren, wenn man das perspektivische Bild
zu den Figuren 37 und 38 zeichnen will. 3 ) Im Fall des Parallelepiped-
ons kann man die Konstruktion auch dadurch etwas kürzen, daß man
zunächst die Bilder zweier parallelen Geraden, z. B. diejenigen von AB
und CE, bestimmt; man erhält dann ihren Fluchtpunkt und kann ihn
für die Zeichnung der anderen ihnen parallelen Geraden benutzen. Ist
z. B. das Bild D' des Punktes D gefunden, und soll der Bildpunkt F'
gezeichnet werden, so hat man nur den Bildpunkt F[ von Fi gemäß § 3
zu zeichnen, in ihm eine Vertikale zu errichten und dann den Punkt D'

Fig. 39.

1 ) Erst nachträglich bemerke ich, daß die Buchstaben E und F doppelt vorkom-
men. Auch steht die Pyramide wegen Platzmangel der Bildebene zu nahe, um einen
guten Eindruck hervorzubringen.

2 ) Die Figur würde besser sein, wenn die Pyramide nicht — aus Platzmangel —
der Bildebene zu nahe stände.

3 ) Es empfiehlt sich, die Bilder zu den Figuren 35 und 36 selbst zu zeichnen.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß. 43

mit dem genannten Fluchtpunkt zu verbinden, so stellt der Schnitt der
Vertikalen mit dieser Verbindungslinie den Punkt F' dar. l )
Ich schließe mit einigen zeichnerischen Bemerkungen.

1. Erstens kann man fragen, welche der obigen Zeichnungsvorschrif-
ten in den einzelnen Fällen am besten anzuwenden ist. Hierauf kann,
wie auch sonst in der Kunst, eine allgemeine Antwort nicht gegeben
werden. Jeder wird so zeichnen, wie es ihm am bequemsten scheint und
am geläufigsten ist; auch wird man zweckmäßig mit Überbestimmungen
operieren.

2. In den Figuren 36, 37 und 38 sind einige Linien stark, einige
nur gestrichelt oder überhaupt nicht gezeichnet. Die ersten sollen den
Kanten entsprechen, die man sieht, die anderen denen, die durch die
Körper selbst verdeckt sind, vorausgesetzt, daß man sie als undurch-
sichtig betrachtet. Dies geschieht, damit man die räumliche Stellung der
dargestellten Gegenstände möglichst leicht und sicher beurteilen kann.
Welche Linien stark oder gestrichelt zu zeichnen sind, hängt davon ab,
wo sich der Gegenstand E und das Auge des Beschauers befinden.

Da sich der Punkt So, für den das in der Aufrißebene entstehende
perspektivische Bild hergestellt wird, vor der Aufrißebene befindet, und
der Gegenstand E hinter der Aufrißebene, so wird man von So aus die-
jenigen Punkte des Gegenstandes E sehen können, die der Aufrißebene
am nächsten liegen; dies sind diejenigen, deren Grundrißprojektionen
von der Achse den kleinsten Abstand haben. 2 ) Sie sollen auch im Aufriß
stark gezeichnet werden. Alle Teile des Gegenstandes, die für das per-
spektivische Bild sichtbar sind, sind daher aus dem Aufriß unmittelbar
zu entnehmen. 3 )

Dies ist an den einzelnen Figuren leicht zu erkennen. Beispielsweise
ist in Fig. 38 der Punkt A derjenige, dessen Grundrißprojektion den
kleinsten Wert hat; er liegt deshalb der Aufrißebene am nächsten, und
die von ihm ausgehenden Kanten AB, AC, AD nebst den durch sie
bestimmten Flächen sind von So aus sichtbar. Sie sind daher stark
gezeichnet. Dagegen ist der Punkt H nebst den von ihm ausgehenden
Kanten durch den Körper verdeckt. Ebenso ist in Fig. 37 C die Ecke,
die man von So aus sieht, während E verdeckt ist. 4 )

1 ) Vgl. den Anhang, VI.

2 ) Man beachte, daß die Figuren durch Hineindrehen der Grundrißebene in die
Aufrißebene entstehen.

3 ) Da sich der Zeichner ebenfalls vor resp. über der Aufrißebene befindet, sind
dies zugleich diejenigen, die er selbst sieht.

) Um Grundriß und Aufriß als gute körperliche Bilder aufzufassen, hat man das
Auge auf unendliche Sehweite einzustellen. Vgl. S. 64 Anm. 1.

§ 10. Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß. 44

Was den Grundriß betrifft, so zeichnen wir ihn immer so, daß wir
den Gegenstand von oben betrachten; es sind also diejenigen Teile des
Gegenstandes sichtbar, die am weitesten von der Grundrißebene ent-
fernt sind, deren Aufrißprojektionen also den größten Abstand von der
Achse haben. In Fig. 38 sind dies die von dem Punkt F ausgehenden
Kanten und die durch sie bestimmten Flächen.

§11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und

Aufriß.

Die Eigenschaften von Grundriß und Aufriß, die
hier zu erörtern sind, betreffen wesentlich die in der
Zeichnungsebene vorhandene Gesamtfigur, die sich
durch Umlegen der einen Ebene in die andere er-
gibt. Sie sind dadurch bedingt, daß Grundriß und
Aufriß als Projektionen einer und derselben Raum- _.
figur £ nicht unabhängig voneinander sind. Sie sind N
durchaus elementarer Natur. Nur insofern haftet ih-
nen eine gewisse Schwierigkeit an, als man genötigt
ist, bald die tatsächliche Lage der Figur £ zu den Fig. 40.

Projektionsebenen, bald die in der Zeichnungsebe-
ne vorhandene Gesamtfigur in Betracht zu ziehen und miteinander zu
vergleichen; vielfach hat man von der einen zur anderen überzugehen
und von den Eigenschaften der einen auf die der anderen zu schlie-
ßen. Es ist dringend zu empfehlen, sich neben dem zeichnerischen Bilde
stets auch die Lage der zugehörigen Figur £ vorzustellen, bis man den
Übergang von dem einem zum anderen leicht ausführen kann.

Ich beginne mit Punkt, Gerade und Ebene und ihren gegenseitigen
Beziehungen. Zweierlei kommt hier in Betracht. Erstens sind die Ei-
genschaften der einzelnen Figuren zu entwickeln; zweitens kann es sich
darum handeln, Zeichnungen und Konstruktionen für gegebene geome-
trische Gebilde herzustellen.

1. Die Gerade. Das erste unmittelbar ersichtliche Resultat lautet,
daß zwei beliebig in den Projektionsebenen 7i"i und 1T2 angenommene
Geraden g\ und gi stets die Projektionen einer eindeutig bestimmten
Raumgeraden g darstellen (Fig. 40). Sie ist Schnittlinie der beiden Ebe-
nen, die man durch g-± und g<i senkrecht zu 7i"i und ^2 konstruiert. Diese
beiden Ebenen heißen auch projizierende Ebenen der Geraden g; wir
werden sie durch 7x und 72 bezeichnen.

Jede Gerade g ist durch zwei Punkte bestimmt; man kann hierzu
insbesondere ihre Schnitte mit den Projektionsebenen wählen, die wir
wieder ihre Spuren nennen und jetzt durch Gi und G2 bezeichnen
wollen (Fig. 41). Da Gi in 7Ti liegt, so fällt die zweite Projektion von Gi
auf die Achse a; sie möge G10 heißen. 1 ) Ebenso fällt die erste Projektion
von G2 auf die Achse (Fig. 42); sie heiße G^o- Daher sind G1G20 un d
G2G10 die Projektionen der Geraden.

x ) Diese Bezeichnung weicht zwar von dem allgemeinen Schema etwas ab, sie
wird aber nur an dieser Stelle vorübergehend benutzt.

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

46

Hieraus ergibt sich unmittelbar die Lösung der Aufgabe, die Spuren
einer gegebenen Geraden zu zeichnen, deren Projektionen g\ und g 2
gegeben sind. Man hat nur ihre Schnittpunkte mit der Achse zu kon-
struieren und in ihnen die Lote zu errichten; sie schneiden g x und g 2 in
den Spurpunkten.

Wir betrachten endlich die Projektionen einiger Geraden ausge-
zeichneter Lage. Man erkennt unmittelbar die Richtigkeit folgender
Tatsachen:

Ist g zur Achse parallel, so sind auch g\ und g 2 zur Achse parallel.

Ist g zur Grundrißebene 7Ti parallel, so ist g\ zu g parallel, während
g 2 zur Achse parallel ist; analog ist es, wenn g zu 7r 2 parallel ist.

Die Grundrißprojektion einer Vertikalen v reduziert sich auf einen
Punkt, nämlich auf ihre Spur in 7Ti, während v 2 zur Achse senkrecht
ist. Analog steht die erste Projektion einer auf 7r 2 senkrechten Geraden
n auf der Achse senkrecht, während sich n 2 auf die Spur von n in -k 2
reduziert.

2. Die Ebene. Eine Ebene kann entweder als begrenztes Flächen-
stück oder aber als unbegrenztes Raumgebilde in Frage kommen. Im
ersten Fall sind die Projektionen des Flächenstücks durch die Projek-
tionen seiner Begrenzung unmittelbar gegeben.

Um im zweiten Fall die Ebene e zeichnerisch zu bestimmen, genügt
es, ihre Schnittlinien mit den Projektionsebenen zu kennen (Fig. 43
und 44). Wir nennen sie ihre Spuren und bezeichnen sie durch Ei und
E 2 1 ). Es ist klar, daß sie sich auf der Achse schneiden, und zwar in dem
Punkt, der zugleich Schnittpunkt der drei Ebenen m, ir 2 , und e ist.
Wir bezeichnen ihn durch Eq. Auch ist ersichtlich, daß zwei beliebige,

1 ) Diese Spuren pflegt man vielfach so zu zeichnen, wie es oben geschehen ist,
nämlich aus Strichen und Punkten. Es ist ein Haupterfordernis einer guten Figur,
daß man aus der Art, in der die einzelnen Linien gezeichnet sind, ihre Bedeutung
und damit die Gestalt der bezüglichen Raumfigur leicht zu entnehmen vermag. Ich
habe deshalb die früher ziemlich allgemein gebräuchliche Zeichnungsart benutzt.

Fig. 41.

Fig. 42.

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

47

Fig. 43.

Fig. 44.

sich auf der Achse schneidende Geraden Ei und E2 stets Spuren einer
eindeutig durch sie bestimmten Ebene sind.

Als ausgezeichnete Lagen einer Ebene haben wir solche zu betrach-
ten, die zu einer Projektionsebene oder zur Achse parallel oder senkrecht
liegen; über sie ergibt sich leicht das Folgende:

Ist die Ebene e zur Grundrißebene 7 parallel, so verschwindet Ei
ins Unendliche, und E 2 ist zur Achse a parallel. Analog ist es, wenn e
zur Ebene ß parallel ist.

Steht e auf der Grundrißebene senkrecht, so ist E2 auf der Achse
senkrecht, und die Gerade Ei liefert mit der Achse den Neigungswinkel
von e und ß (Fig. 45 und 46).

Fig. 45.

Fig. 46.

Ist e zur Aufrißebene senkrecht, so ist Ei auf a senkrecht, während
E2 mit a den Neigungswinkel von e und ß bestimmt.

Steht £ auf der Achse a senkrecht, so sind Ei und E2 auf a senkrecht,
beide Schnittlinien liegen also in einer Geraden.

Ist endlich £ zur Achse parallel, so sind auch Ei und E 2 zur Achse
a parallel.

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

48

Fig. 47.

Fig. 48.

3. Punkt und Gerade. Liegt ein Punkt P auf der Geraden g, so liegt
die Projektion P\ auf g\ und ebenso P2 auf g 2 was der Vollständigkeit
halber erwähnt werden möge.

Wird Pi auf g\ , aber P 2 nicht auf g 2 angenommen, so heißt dies
nur, daß P in der projizierenden Ebene 7 X enthalten ist, die durch g\
geht und auf der ersten Projektionsebene 7Ti senkrecht steht (Fig. 40).
Analog ist es, wenn P 2 auf g 2 , aber P x nicht auf g^ liegt.

4. Zwei sic/i schneidende Geraden. Ist P Schnittpunkt zweier Ge-
raden g und /, so müssen sich (Fig. 47) die ersten Projektionen g\
und /1 in Pi schneiden, ebenso #2 un d /2 in P2. Die Verbindungsli-
nie der Schnittpunkte (gi, fi) und (g 2 ,f 2 ) kreuzt daher die Achse senk-
recht. Hieraufist Bedacht zu nehmen, wenn die Projektionen zweier sich
schneidender Geraden gezeichnet werden sollen. Beispielsweise können
gx-, /1 und g 2 beliebig gewählt werden; damit ist P\ = (gi, fi) bestimmt,
also auch der Punkt P 2 auf g 2 und durch ihn kann f 2 noch beliebig ge-
zeichnet werden 1 ).

Ein besonderer Fall ist der, daß die beiden Geraden in eine Ebene
fallen, die auf einer Projektionsebene senkrecht steht. Ist dies z. B. die
Grundrißebene, so sind g\ und f\ identisch. Die Projektionen g 2 und f 2
liefern dann in ihrem Schnittpunkt (g 2 , f 2 ) die Projektion P 2 , woraus
sich weiter Pj auf gi = /1 ergibt.

Sei endlich e die durch g und / bestimmte Ebene. Ein sie darstel-
lendes Flächenstück (Viereck) ergibt sich unmittelbar, indem man auf
g und / die Punkte G', G" und F', F" beliebig annimmt. Um ferner
die Spur von e zu zeichnen, beachte man, daß wenn eine Gerade g in

) Sind g und / windschief, so ist der Schnittpunkt (<?i,/i) die erste Projekti-
on desjenigen Punktes, in dem / die projizierende Ebene 71 kreuzt. Die analoge
Bedeutung hat der Punkt (527/2)-

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

49

einer Ebene e liegt, die Spuren von g auf den Spuren von e (Fig. 48)
liegen.

Man erhält daher in den Geraden F\G\ und F 2 G 2 die gesuchten
Spuren Ei und E 2 .

5. Zwei sich schneidende Ebenen. Schnei-
den sich die Ebenen e und 5 in der Geraden g,
so sind (Fig. 49) die Spuren Gi und G2 von g
mit den Punkten identisch, in denen die Spu-
ren Ei, Di und die Spuren E2, D2 einander
schneiden. Sind also e und S durch ihre Spu-
ren gegeben, so können die Projektionen ihrer
Schnittlinie g gemäß § 8 unmittelbar gezeich-
net werden. Man hat von den Schnittpunkten
(Ei, Di) und (E 2 , D 2 ) die Lote auf die Achse
zu fällen und deren Fußpunkte mit den Spuren
zu verbinden.

6. Eine Gerade in einer Ebene. Um die Projektionen einer Geraden
g zu zeichnen, die in einer Ebene e liegt, kann eine dieser beiden Pro-
jektionen beliebig angenommen werden; die andere ist bestimmt. Wird
nämlich gi beliebig gewählt, so wird damit festgesetzt, daß g in der
durch gi gehenden projizierenden Ebene 71 liegt (Fig. 40), also Schnitt
von 71 und e ist. Durch g\ ist also g und damit auch g 2 bestimmt.
Analog ist es, wenn man g 2 beliebig wählt.

s

-- — -1

*-v

Fig. 49.

Fig. 50.

Fig. 51.

Um die zweite Projektion g 2 zu zeichnen, haben wir wieder zu unter-
scheiden, ob die Ebene e durch ihre Spuren oder als begrenztes Flächen-
stück gegeben ist. Im ersten Fall kann man folgendermaßen verfahren
(Fig. 50). Da, wie oben erwähnt, die Spuren von g auf den Spuren von e
liegen, erhält man im Schnitt von g\ mit Ei die Spur Gi von g; errich-
tet man dann im Schnitt von gi mit der Achse das Lot, so erhält man

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

50

in seinem Schnitt mit der Spur E2 die Spur G2 von g und damit auch
#2- Wenn dagegen die Ebene als begrenztes Flächenstück $ gegeben
ist, und $! und $2 dessen Projektionen sind, so zeichne man wieder
(Fig. 51) g\ in m beliebig, und hat sofort in den Schnittpunkten A\
und Bi von g\ mit $! die ersten Projektionen der Schnittpunkte von
g mit $ und daraus in bekannter Weise die zweiten Projektionen, also
auch die Gerade g 2 . 1 )

7. Ein Punkt in einer Ebene. Soll ein in einer Ebene e liegender
Punkt gezeichnet werden, so kann wieder eine Projektion beliebig an-
genommen werden; es sei P\. Um P2 zu zeichnen, benutzt man am
besten eine in e liegende Gerade g, die durch P geht. Man nehme also
(Fig. 52) die Projektion g± so an, daß sie durch Pi geht, konstruiere
gemäß 6. die Projektion g 2 und erhält auf ihr gemäß 3. die Projektion

P2. 2 )

8. Kreuzungspunkt einer Geraden mit einer
Ebene. Die Bestimmung des Kreuzungspunktes K
einer gegebenen Geraden g mit einer gegebenen
Ebene e ist die wichtigste Aufgabe, die hier zu er-
örtern ist. Wir lösen sie, indem wir sie auf die Auf-
gabe 4. zurückführen, also eine zweite durch den
Punkt K gehende Gerade zu Hilfe nehmen. Wir
wählen dazu am besten die Schnittlinie / von e
mit der projizierenden Ebene 71; die auf 7Ti längs
gi senkrecht steht. Für sie ist gemäß 4. f\ = gi]
es handelt sich also nur noch darum, die zweiten
Projektionen dieser Geraden / zu konstruieren.
Wir betrachten zunächst den Fall, daß e als begrenztes Flächenstück
<& gegeben ist. Da /1 = g\ ist, hat man in den Schnittpunkten von g\
mit $! zugleich die ersten Projektionen der Schnittpunkte von / mit
$, und da ihre zweiten Projektionen auf $2 liegen, so ist damit auch
/ 2 zeichnerisch bestimmt.

Fig. 52.

1 ) Mittels des obenerwähnten Satzes löst man auch leicht die Aufgabe, die Spuren
einer Ebene zu zeichnen, die durch drei Punkte A, B, C geht, wenn die Projektionen
dieser Punkte gegeben sind. Mit den Projektionen von A, B, C sind nämlich auch die
Projektionen ihrer Verbindungelinien gegeben, man braucht also nur deren Spuren
in 7Ti und in 7T2 zu konstruieren und zu verbinden, um die Spuren der Ebene zu
erhalten. Übrigens genügt es, die Spuren von zwei Geraden zu konstruieren. Der
Kontrolle wegen wird man es aber auch für die dritte tun.

Ähnlich konstruiert man auch die Spuren einer durch eine Gerade und einen Punkt
bestimmten Ebene.

2 ) Die Figur betrifft nur den Fall eines Flachenstücks $.

§ 11. Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.

51

Fig. 53.

Fig. 54.

Ist z. B. $ ein Parallelogramm ABCD, so hat man (Fig. 53) die
Schnittpunkte P\ und Qi von g\ mit A\BxC\Di zu zeichnen, sodann
auf A2B2C2D2 die zweiten Projektionen P 2 und Q2, und dann den
Schnittpunkt K 2 von g 2 mit P2Q2 = /2- Aus ihm erhält man endlich
gemäß 3. auch den Punkt Xi auf g\.

Ist dagegen die Ebene e durch ihre Spuren gegeben, so konstru-
iere man (Fig. 54) zunächst die Spuren von 71; ihre erste Spur Ci
ist gemäß 4. ebenfalls mit g\ identisch, ihre zweite C 2 ist zur Achse
a senkrecht. Die Projektion / 2 ergibt sich nunmehr gemäß 5., indem
man / als Schnitt von e und 71 ansieht; es ist also Fi = (Ci,Ei) und
F 2 = (C 2 ,E 2 ).

Übrigens wird man es meist nur mit
dem ersten Fall zu tun haben. Um z. B. ein
Parallelepipedon zu zeichnen, das von einer
Geraden gekreuzt wird, können wir folgen-
dermaßen verfahren. Die beiden Flächen,
in denen die Kreuzung erfolgen soll, wählen
wir beliebig aus, es seien (Fig. 55) ABCE
und ABDF. Wir zeichnen dann am ein-
fachsten in A1B1D1F1 irgendeine Gerade,
z. B. die Diagonale B1D1, nehmen auf ihr
Ki beliebig an und zeichnen K 2 auf B 2 D 2 .
Ebenso verfährt man mit den Projektionen
A\BiC\Ei und A2B2C2E2. Damit hat man auch g\ und g 2 als Verbin-
dungslinien der Kreuzungspunkte.

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Fig. 55.

12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und

Aufriß.

Fig. 56.

Die Aufgaben, die hier zu erörtern sind, betreffen hauptsächlich die
zeichnerische Darstellung von Strecken und Winkeln gegebener Größe.
In den einfachsten Fällen kommen wir ohne Kenntnis besonderer
Methoden zum Ziel, wie das folgende Beispiel zeigt:

Grundriß und Aufriß eines Würfels von gegebener Kantenlänge her-
zustellen, wenn eine Hauptdiagonale auf der Grundebene 7Ti senkrecht
steht.

Die eine Ecke A des Würfels denken wir uns der
Einfachheit halber in der Grundebene liegend; die zur
Grundebene senkrechte Hauptdiagonale sei AH. Sind
dann AB, AC, AD, HE, HF, HG die von A und H
ausgehenden Würfelkanten, so bilden die Punkte B, C ,
D und E, F , G je ein gleichseitiges Dreieck; die Ebe-
nen dieser Dreiecke liegen zur Grundebene parallel und
teilen die Hauptdiagonale in drei gleiche Teile. Daraus
folgt, daß die Kante s des Würfels, die Flächendiagona-
le d und die Hauptdiagonale h in der Weise ein recht-
winkliges Dreieck ABH bilden (Fig. 56), daß der Hö-
henfußpunkt U die Hypotenuse im Verhältnis 1 : 2 teilt. Damit ist h
zeichnerisch bestimmt.

Wir zeichnen nun zunächst den Grundriß
(Fig. 57). Aus der Symmetrie des Würfels folgt,
daß alle Kanten gegen die die Diagonale AH und
damit auch gegen die Grundrißebene gleich geneigt
sind. 1 ) Der Grundriß besteht daher aus den Seiten
und Diagonalen eines regelmäßigen Sechsecks, des-
sen Ecken die Projektionen der Punkte B, C, D,
E, F, G sind, während die Projektionen A% und
Hi in seinen Mittelpunkt fallen. Überdies stellt in
Fig. 56 offenbar BU die Länge der Grundrißpro-
jektion von AB und zugleich den Radius des dem
Sechseck umgeschriebenen Kreises dar. Damit ist,
so lange die Stellung des Würfels zur Aufrißebene
beliebig bleibt, was hier geschehen soll, der Grund-
riß bestimmt.

Fig. 57.

1 ) Dies folgt zunächst für die Kanten durch A und H, und damit auch für die
andern, die diesen parallel sind.

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.

53

Für den Aufriß erhalten wir zunächst den Punkt H 2 , indem wir
A 2 H 2 = AH machen. Wir haben dann nur noch A 2 H 2 in drei gleiche
Teile zu teilen, durch die Teilpunkte Parallelen zur Achse zu ziehen
und zu beachten, daß die Projektionen B 2 , C 2 , D 2 auf der unteren
und E 2 , F 2 , G 2 auf der oberen Parallele liegen; endlich sind noch die
Verbindungslinien zu zeichnen, die den Kanten entsprechen.

Um andere Aufgaben in einfacher Weise zu behandeln, bedürfen
wir neuer methodischer Hilfsmittel. Ein erstes bildet das Verfahren der
Umlegung. Es besteht darin, eine Ebene e um ihren Schnitt mit einer
Projektionsebene so lange zu drehen, bis sie in die Projektionsebene
hineinfällt. Alle in e vorhandenen Figuren fallen dann in ihrer natürli-
chen Größe in die Projektionsebene. Ist also die durch Umlegung ent-
stehende Figur zeichnerisch bestimmbar, so sind damit auch die in der
Ebene e vorhandenen Strecken und Winkel bekannt und umgekehrt. l )

Dies Verfahren kommt besonders für zwei
Aufgaben in Betracht. Diese sind:

1. die Neigungswinkel einer durch ihre Spu-
ren gegebenen Ebene e gegen die Projektions-
ebenen zu bestimmen, und umgekehrt die zwei-
te Spur einer Ebene zu zeichnen, deren Neigung
gegen eine Projektionsebene gegeben ist, und

2. für ein gegebenes Dreieck ABC, dessen
Grundlinie BC in eine Projektionsebene fällt,
Grundriß und Aufriß herzustellen, wenn seine Neigung gegen die Pro-
jektionsebene bekannt ist.

Es genüge, beidemal die Grundrißebene m
ins Auge zu fassen. Seien wieder (Fig. 58) Ei,
und E 2 die Spuren der Ebene e. Wir nehmen ir-
gendeine Ebene S an, die auf der Spur E x senk-
recht steht; sie schneidet die Ebenen 7Ti, n 2 und
e in einem rechtwinkligen Dreieck E 2 EiD , in
dem der Winkel E\ der gesuchte Neigungswin-
kel ist. Da die Seiten E\Dq und E 2 Dq bekannt
sind, so ist das Dreieck zeichnerisch bestimmt.
Dieses Dreieck denken wir uns nun in die Ebe-
ne 7Ti umgelegt, so daß es in die Lage E\DqE'
komme, alsdann können wir aus ihm den Nei-
gungswinkel entnehmen. In der Zeichnungsebene konstruiert man also
so, daß man (Fig. 59) irgendeine Gerade EiDq senkrecht zur Spur Ex

Fig. 58.

Fig. 59.

1 ) Dies Verfahren ist nichts anderes als eine Anwendung der allgemeinen Metho-
de, alle Ebenen in die Zeichnungsebene hineinzudrehen.

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.

54

Fig. 60.

legt, in Do die Vertikale DqE^ errichtet, und nun das Dreieck E\DqE'
so zeichnet, daß D E' = D E 2 ist.

Ist umgekehrt die Spur E x und der Neigungswinkel a von e gegen tt\
gegeben, und E 2 zu finden, so entnimmt man dem durch EiDq und a
bestimmten Dreieck EiD E' die Länge der Seite D E', macht D E 2 =
DqE', und hat damit die Spur E2, von e in -k 2 .

Auch die zweite Aufgabe behan-
deln wir so, daß wir die Grundriße-
bene als Projektionsebene wählen.
Sei AD die Höhe des Dreiecks, und
w das in der Grundrißebene Tii auf
BC in D errichtete Lot (Fig. 60),
so enthält die durch AD und w be-
stimmte Ebene ö wieder den Nei-
gungswinkel. Wird nun ABC um BC in die Ebene tt\ umgelegt, so
beschreibt A einen Kreis in der Ebene ö und fällt deshalb in einen
Punkt A' der Geraden w. Andererseits liegt auch die Projektion A\ auf
w. Dies soll zunächst als Satz ausgesprochen werden:

I. Wird ein Dreieck ABC, dessen Grundlinie BC in eine Projekti-
onsebene 7Ti fällt, um BC in die Projektionsebene umgelegt, und gelangt
dabei A in den Punkt A' , so liegt die Projektion Ai von A auf dem Lot,
das von A' auf die Grundlinie BC gefällt wird.

In dem rechtwinkligen Dreieck ADA\ ist AD
und der Winkel D bekannt, es ist also zeich-
nerisch bestimmt. Zugleich gibt AA 1 die Länge
der Aufrißprojektion des Punktes A. Benutzen
wir nun die Umlegungsmethode noch einmal in
der Weise, daß wir das Dreieck ADAi um DA\
in die Ebene tti umlegen, und ist A" ' DA\ seine
neue Lage, so entnehmen wir ihm unmittelbar
den Punkt A\\ zugleich liefert uns A"Ai, wie
eben erwähnt, die Länge der zweiten Projekti-
on A 2 A des Punktes A. Damit ist die Aufgabe
erledigt.

Die Ausführung der Zeichnung gestaltet
sich folgendermaßen (Fig. 61): Man konstruiere
A1B1C1 = ABC, fälle das Lot A'D U konstru-
iere das Dreieck A1D1A" so, daß D\A" = D\A' und D\ der gegebene

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Fig. 61.

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.

55

Winkel ist, und zeichne zu A\ die zweite Projektion A 2 in der Weise,
daß A 2 A = A"A 1 ist.

Es ist klar, daß man das vorstehende Verfahren auch benutzen kann,
um den Neigungswinkel des Dreiecks ABC gegen die Grundrißebene zu
ermitteln, wenn seine Projektionen gegeben sind. Man hat nur in um-
gekehrter Reihenfolge vorzugehen. Ich gehe jedoch hierauf nicht näher
ein, weil in dieser Schrift immer die Herstellung der Zeichnungen in
erster Linie in Frage kommt.

Beispiel 1. Einen Kasten mit rechtwinkli-
ger Grundfläche zu zeichnen, dessen Dachflä-
chen unter gleichen Winkeln gegen die Wän-
de geneigt sind. Die Grundfläche ABCD be-
finde sich in der Grundebene, EFGH sei die
obere Rechteckfläche und ST die Dachkante.
(Fig. 62).

Man kann so verfahren, daß man je eine
Ebene zu Hilfe nimmt, die auf der Grundfläche
und auf zwei parallelen Seiten des Rechtecks
ABCD senkrecht steht, und sie in die Grun-
debene umlegt; zunächst eine für die größe-
ren Seiten AD und BC. Der Durchschnitt ist
zeichnerisch bestimmt; sein höchster Punkt U
ist ein Punkt der Dachkante ST. x ) Mittels der
Umlegung dieser Ebene ergeben sich also die
Projektionen U\ und U2] übrigens genügt es

den Teil des Durchschnitts zu zeichnen, der dem Dach angehört und
durch A\BiU' dargestellt ist. Dann benutzt man zweitens eine Ebene,
die durch den Punkt U geht, und auf den Seiten AC und BD senkrecht
steht. Ihre Durchschnittsfigur ist jetzt ebenfalls zeichnerisch bestimmt;
durch ihre Umlegung ergeben sich also auch die Projektionen S2 und T 2 .
Auch hier genügt es den Teil umzulegen, der dem Dach selbst angehört.

2. Grundriß und Aufriß eines regulären Dodekaeders zu zeichnen,
von dem eine Fläche ABC DE in die Grundebene fällt (Fig. 63 u. 64).

Folgende Eigenschaften, die die Gestalt des Dodekaeders betreffen,
kommen hier in Betracht, Seine 20 Ecken verteilen sich auf vier zur
Grundebene parallele Ebenen, so daß sie in jeder ein regelmäßiges Fünf-
eck bilden. Diese Fünfecke seien der Reihe nach ABCDE, A'B'C'D'E',
N'B"C"D"E", A'"B'"C'"D'"E'". Von ihnen sind das erste und vierte
kongruent, und ebenso das zweite und dritte. Sie liegen so zueinander,
daß ihre Grundrißprojektionen zwei regelmäßige Zehnecke bilden.

Fig. 62.

Um den Grundriß nicht zu stören, ist die Ebene durch AB selbst gelegt worden.

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.

56

Fig. 64.

Um den Grundriß herzustellen, kann man die Lage der Grundfläche
ABCDE, also auch das Zehneck, dem seine Ecken angehören, belie-
big annehmen; das von den Projektionen der beiden anderen Fünfecke
gebildete Zehneck ist jedoch zu konstruieren. Ist BB' die von B aus-
gehende Kante des Dodekaeders, so muß ihre Grundrißprojektion aus
Symmetriegründen in die Gerade fallen, die mit AB und BC gleiche
Winkel bildet; auf dieser Geraden liegt also der Punkt B' '. Denkt man
sich nun die an BC anstoßende Fläche in die Grundrißebene umgelegt,
so fällt B' auf A; gemäß I. liegt daher B[ auch auf dem Lot, das man
von A\ auf B\C\ fallen kann. Damit ist B[ bestimmt, also auch das
zweite Zehneck. Man zieht noch diejenigen Verbindungslinien, die den
Kanten des Dodekaeders entsprechen.

Im Aufriß fallen die Projektionen von ABCDE in die Achse, und
die Projektionen der drei anderen Fünfecke in je eine Gerade, die zur
Achse parallel ist. Der Aufriß ist daher bestimmt, sobald wir je einen
Punkt dieser drei Parallelen kennen. Ihre Konstruktion hängt davon
ab, welche Lage zur Achse wir dem Fünfeck ABCDE in der Grundflä-
che geben. Am einfachsten ist es, eine Seite des Fünfecks senkrecht zur
Achse zu wählen. Ist dies AB, so ist die Kante DD' der Aufrißebene
parallel, und das gleiche gilt für die durch D" gebende Mittellinie des an
AB angrenzenden Fünfecks; ihre Aufrißprojektionen sind ihnen daher
gleich. Damit sind die Projektionen D' 2 und D^ zeichnerisch bestimmt,

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß.

57

Fig. 65.

also auch die beiden Parallelen, auf denen sie liegen. Die oberste Par-
allele erhält man am einfachsten durch die Erwägung, daß die Kanten
D"D'" und DD 1 einander parallel sind; daher sind es auch ihre Projek-
tionen. Damit ist auch D™ bestimmt. Man hat nun noch die Projek-
tionen aller Ecken des Dodekaeders, sowie diejenigen Verbindungslinien
zu zeichnen, die Kanten entsprechen.

Die so gezeichnete Figur hat allerdings den Mangel, daß sich eini-
ge Dodekaederflächen im Aufriß in eine Gerade projizieren. Nachdem
aber die Aufrißprojektion für die besondere hier vorausgesetzte Lage des
Dodekaeders konstruiert ist, kann sie für jede Lage ausgeführt werden,
bei der eine Grundfläche in die Grundrißebene fallt, die also entsteht,
wenn man das Dodekaeder um eine zur Grundrißebene senkrechte Ach-
se dreht. Bei dieser Drehung bleibt nämlich jeder Punkt in einer Ebene,
die zur Grundrißebene parallel ist; daher verteilen sich die Aufrißpro-
jektionen der Dodekaederpunkte auf die nämlichen Parallelen, wie für
die erste Lage. Denken wir uns also das Dodekaeder in der Weise ge-
dreht, wie es Fig. 63 entspricht, so können wir, nachdem der Grundriß
hergestellt ist, den Aufrißso zeichnen, daß wir uns zunächst die Lage

§ 12. Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufriß. 58

der Aufrißparallelen herstellen und dann auf ihnen die zweiten Projek-
tionen, wie es Figur 62 erkennen läßt.

Ich schließe damit, auf Grund der Figur 64 noch das perspektivische
Bild des Dodekaeders zu zeichnen, unter Annahme des Augenpunktes
TV und der Distanzpunkte. (Fig. 65) Die Zeichnung schließt sich direkt
an Satz V von § 9 an; wir konstruieren der Reihe nach die Bilder der
vier Fünfecke, indem wir beachten, daß sie in je einer Horizontalebene
enthalten sind, und zwar mittels der Fluchtpunkte L und R.

13. Die Einführung neuer Projektionsebenen.

Fig. 66.

Eine zweite allgemeine Methode, zu der wir jetzt übergehen, besteht
in der Einführung neuer Projektionsebenen. Sie läuft der Einführung
neuer Koordinatenebenen in der analytischen Geometrie parallel; doch
gehen wir hier so vor, daß wir schrittweise immer nur je eine neue Pro-
jektionsebene annehmen, und zwar so, daß die neue Ebene auf einer
der vorhandenen senkrecht steht. Ein zweiter wichtiger Gesichtspunkt
ist der, daß wir die neuen Projektionsebenen möglichst den darzustel-
lenden Strecken und Winkeln parallel wählen; ist dies erreicht, so stellen
sich deren Projektionen in ihrer natürlichen Größe dar.

Wie man in der
analytischen Geome-
trie zuvörderst die
Formeln für die Trans-
formation der Koor-
dinaten zu behandeln
hat, entsteht hier zu-
nächst die Aufgabe,
die Projektionen in
den neuen Projektionsebenen aus den alten herzustellen. Wir gehen
dazu von Grundriß und Aufriß aus, und denken uns eine Projektions-
ebene 7r 3 , die auf der Grundrißebene 7i"i senkrecht steht, während sie
mit 7r 2 einen beliebigen Winkel bilde. (Fig. 66). Es sind dann auch
7Ti und 7T3 zwei Ebenen, die als Grundriß- und Aufrißebene benutzt
werden können, und wir haben, wenn P3 die Projektion eines Punktes
P in 7T3 ist, P3 aus P\ und P2 abzuleiten.

Sei dazu O der Schnitt der drei Ebenen, sei jetzt 012 die Achse für
7Ti und 7T2, und a\s diejenige für -K\ und 113 so daß O zugleich Schnitt von
O12 und a 13 ist. Wir denken uns nun auch die Ebene 7r 3 in die Ebene 7Ti
umgelegt (Fig. 67), und zwar durch Drehung um a 13 , so besteht auch
für die Projektionen P\ und P 3 der Satz I von § 10; und man hat, wenn
jetzt die Schnittpunkte von P\Pi und P1P3 mit den Achsen durch P 12
und P13 bezeichnet werden, unmittelbar die Gleichung

1) PPi = P2P12 = P3P13.

Diese einfache Gleichung ist die einzige Tatsache, die hier in Frage
kommt 1 ). Wir schließen aus ihr sofort, daß die Projektion P3 aus P\

1 ) Dies ist identisch mit der obenerwähnten Tatsache, daß die Aufrißprojektio-
nen ihrer Länge nach ungeändert bleiben, wenn man den Gegenstand S um eine
zur Grundrißebene vertikale Achse dreht. Seine so entstehende Lage zur Aufrißebene

§ 13. Die Einführung neuer Projektionsebenen. 60

und P 2 zeichnerisch bestimmbar ist; man hat nur von P\ auf 013 das Lot
P\P\% zu fällen, und auf ihm P 3 so zu bestimmen, daß P3P13 = P2P12
ist. Dies pflegt man so auszuführen, daß man (Fig. 67) in O auf a 12
und <2i3 je ein Lot n 2 und n 3 errichtet, zu a 12 durch P 2 eine Parallele
bis n 2 zieht, dann den bis n 3 reichenden Kreisbogen schlägt, und durch
seinen Endpunkt wieder die Parallele zu 013 zieht 1 ). Wir sprechen das
gefundene Resultat folgendermaßen als Satz aus:

I. Wählt man die Projektionsebene 713 senkrecht auf m, so ergibt
sich die Projektion P3 aus P\ und P 2 in der Weise, daß man von P\
auf die Achse 013 der Ebenen -k\ und -k% ein Lot P\A\z fällt und auf ihm
die Strecke A13P3 gleich A12P2 abträgt, wenn A\i Schnitt der Achse avi
mit P1P2 ist.

Die Einführung einer dritten Projektionsebene tt^ kann zunächst
den Zweck haben, zu bewirken, daß die Raumfigur £ eine vorgegebene
Lage zu den Projektionsebenen besitzt. Dies wollen wir zunächst an
einigen einfachen Beispielen ausführen.

1. Die Projektion des in Fig. 37 gezeichneten Oktaeders auf einer
zur Aufrißebene senkrechten Ebene 7r 3 herzustellen. Die Ausführung er-
folgt unmittelbar nach dem eben gegebenen Konstruktionsschema und
bedarf keiner weiteren Erläuterung (Fig. 68).

2. Die zweite oben gegebene Darstellungsart des Dodekaeders so
vorzunehmen, daß man die Ebene -it^ auf 7Ti, senkrecht wählt. Auch diese
Aufgabe ist unmittelbar nach dem angegebenen Schema zu behandeln
(Fig. 69) 2 ).

Die Einführung neuer Projektionsebenen laßt sich wiederholen; man
kann eine Ebene 7r 4 einführen, die auf einer der Ebenen 7i"i oder ir 3
senkrecht steht, und kann dies beliebig lange fortsetzen. Man erhält
dadurch Grundriß- und Aufriß- Projektionen für immer neue Stellungen
einer Figur zu den Projektionsebenen. Dabei ist zweierlei zu bemerken.
Erstens bedarf es nur zweier Schritte, um eine gegebene Ebene e zur
Projektionsebene zu machen. Ist nämlich Ei die Spur von e in 7T, so
wähle man 7r 3 senkrecht auf E 1; und kann nun, da 7r 3 auf e senkrecht
steht, e als Ebene 7r 4 einführen. Zweitens beachte man, daß bei der
Einführung von 7r 4 ein praktischer Fortschritt nur so entsteht, daß man
7T4 senkrecht zu 7r 3 annimmt, so daß 7r 3 und 7r 4 die neue Grundrißebene

kann man nämlich auch dadurch herstellen, daß man ihn festhält und die Aufrißebe-
ne dreht, und dies bedeutet wiederum die Einführung einer neuen Projektionsebene.

1 ) Die Zeichnung soll auch hier durch besondere Wahl und Art der Linien ihre
Bedeutung erkennen lassen; vgl. S. 46 Anm. 1.

2 ) Vgl. den Anhang, refanhang:9.

§ 13. Die Einführung neuer Projektionsebenen.

61

Fig. 68.

Fig. 69.

und Aufrißebene darstellen. Würde man nämlich -k^ senkrecht auf m
wählen, so ist 1T3 überflüssig; man hätte von vornherein n^ statt 1T3 als
neue Ebene benutzen können.

Welche Ebenen man in den einzelnen Fällen einführt, hängt ganz
von der Natur der Aufgabe und von dem Zweck ab, den man errei-
chen will. Ihre Wahl muß getroffen sein, ehe man an die zeichnerische
Darstellung geht; die Vorstellung der Figur mit allen ihren Projektions-
ebenen und die richtige Auswahl dieser Ebenen ist das Problem, das in
jedem einzelnen Fall zu lösen ist; die Herstellung der neuen Projektio-
nen ist ein mechanisches Verfahren, das immer in der gleichen Weise
erfolgt.

Ich erörtere

schließlich noch kurz
den Fall, daß man
eine neue Projekti-
onsebene einführt, die
zu einer vorhande-
nen parallel ist. An
dem Satz I wird dann
nichts geändert. Sei

Z. B. 7T 3 || 7T 2 (Fig. 70),

so daß 012 und 013 parallel sind, so besteht immer noch die Glei-
chung 1); die einzige Modifikation die auftritt, ist die, daß -P1-P2 und

-5] ~-

y

Fig. 70.

Fig. 71.

§ 13. Die Einführung neuer Projektionsebenen. 62

P1P3 in dieselbe Gerade fallen. Man erhält also auch hier P 3 so, daß
man P 13 P 3 = P 12 P 2 macht (Fig. 71). x )

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Wie in der analytischen Geo-
metrie können auch hier für die Behandlung der einzelnen Probleme
zwei grundverschiedene Gesichtspunkte maßgebend sein. Man kann die
Koordinatenebenen und die Projektionsebenen so einfach wie möglich,
man kann sie aber auch so allgemein wie möglich wählen. Beides hat
seine Berechtigung; das zweite dient mehr den theoretischen, das erste
mehr den praktischen Zwecken. An dieser Stelle steht jedoch der prakti-
sche Zweck im Vordergrund; die Aufgabe, die sich in so engem Rahmen
allein behandeln läßt, kann nur dahin gehen, auf die einfachste Weise
zum Entwerfen richtiger Bilder zu gelangen. Demgemäß haben wir die
Lage der Gegenstände zu den Projektionsebenen stets so angenommen,
daß ihre zeichnerische Herstellung so leicht wie möglich ausfällt, haben
uns überdies auf Aufgaben einfacherer Art beschränkt, und die übrigen
Probleme nur in aller Kürze gestreift.

1 ) Eine praktische Folge hiervon ist, daß das Zeichnen der Achse a entbehrlich
ist. Bei Festhaltung der Aufrißebene bedeutet dies die Zulassung einer variablen
Lage für die Grundrißebene.

§ 14. Die Axonometrie.

Die Figuren der räumlichen analytischen Geometrie pflegt man fol-
gendermaßen zu zeichnen. Man nimmt die drei Richtungen, die die
Koordinatenachsen darstellen sollen, beliebig an, und zeichnet die Ko-
ordinaten eines jeden Punktes so, daß sie diesen drei Geraden parallel
sind. Das allgemeine Prinzip, das hierin zum Ausdruck kommt, bildet
den sogenannten Grundsatz der Axonometrie; es steht im Mittelpunkt
aller zeichnerischen Methoden. Sein Inhalt und seine Begründung be-
darf ausführlicher Erörterung.

Da die Koordinaten eines jeden Punktes durch Parallelen zu den drei
Koordinatenachsen dargestellt werden, so ist das so hergestellte Bild
eine Parallelprojektion. Damit ist jedoch der Inhalt unseres Satzes noch
nicht erschöpft. In präziser Formulierung lautet er folgendermaßen:

I. Werden in einer Ebene e' drei von einem Punkt O' ausgehende
Strecken O'A', O'B' , O'C so angenommen, daß ihre Endpunkte ein
Dreieck A'B'C bilden, so können sie stets als Parallelprojektion ei-
nes rechtwinkligen gleichseitigen räumlichen Dreikants OABC auf e'
betrachtet werden. x )

Wir betrachten zunächst denjenigen beson-
ders einfachen Fall, der der gewöhnlichen Koor-
dinatendarstellung entspricht. Das Dreikant liegt
dann so, daß eine seiner Ebenen (die xz-Ebene) zu
e' parallel ist. Die zur Ebene e' parallelen Kanten
OA und OC erscheinen alsdann in der Projekti-
onsfigur in e' in ihrer natürlichen Länge, während

W

~JL'

die dritte Kante OB (die der y-Achse entspricht) °"

eine Verkürzung erfährt. Für diesen Fall ist der Satz geradezu evident;
geht man nämlich von zwei zueinander gleichen rechtwinkligen Strecken
O'A' und O'C aus (Fig. 72), während O'B' mit ihnen einen beliebigen
Winkel bildet, so kann diese Figur in der Tat als Projektion eines so
gelegenen Dreikants OABC aufgefaßt werden. Die zugehörige Richtung
der projizierenden Strahlen ergibt sich unmittelbar in der Weise, daß
man auf der Zeichnungsebene ein Lot O'B" = OB errichtet, und B"
mit B' verbindet. Man bezeichnet diese Art der Darstellung auch als
schiefe Projektion. Übrigens bleibt das Vorstehende auch dann noch in

x ) Der Satz gilt auch dann noch, wenn zwei Seiten des Dreiecks A' 'B'C zusam-
menfallen.

§ 14- Die Axonometrie. 64

Kraft, wenn O'B' mit einer der Geraden CA' oder CC zusammen-
fällt; dies bedeutet nämlich nur, daß die projizierenden Strahlen zu der
Seitenfläche OAB oder OBC des Dreikants parallel sind. l )

Dem Beweis des allgemeinen Satzes schicke ich einen Hilfssatz vor-
aus, der in seiner einfachsten Formulierung ein Satz über ein gerades
dreiseitiges Prisma ist und folgendermaßen ausgesprochen werden kann:

IL Jedes gerade dreiseitige Prisma kann durch eine Ebene e so ge-
schnitten werden, daß die Schnittfigur einem gegebenen Dreieck ähnlich
ist.

Ist A'B'C die Grundfläche des Prismas
(Fig. 73), und ABC die in e entstehende Schnittfi-
gur, so ist zu zeigen, daß bei geeigneter Lage von e
das Dreieck ABC einem gegebenen Dreieck AqBqCq
ähnlich ist. Zweierlei schicke ich voraus. Erstens ist
klar, daß, wenn eine Ebene e dem Satze genügt,
auch jede zu ihr parallele Ebene dies tut; zweitens
können wir AqBqCq durch irgendein ihm ähnliches
Dreieck ersetzen; wir dürfen es deshalb auch so wäh-
len, daß AqBq = A'B' ist. Dies wird im folgenden
geschehen. Die Ebene, die die Grundfläche A'B'C enthält, sei e'.

Der Beweis geht so vor, daß er direkt die Lage der Ebene e bestimmt;
dazu ist erstens ihre Schnittlinie mit e' und zweitens die Neigung beider
Ebenen zu ermitteln. Wir stützen ihn auf die in § 5 enthaltenen Sätze
über Parallelperspektive. Wir können nämlich e' und e durch Strahlen,
die auf e' senkrecht stehen, parallelperspektiv so aufeinander beziehen,
daß A'B'C und ABC einander entsprechen. Nun gibt es in den so bezo-
genen Ebenen gemäß § 5, I durch C und C je ein Paar entsprechender
rechtwinkliger Strahlen u, v und vf, v'; und da es sich um eine ortho-
gonale Projektion handelt, so läuft der eine von ihnen der Schnittlinie
s beider Ebenen parallel, während der andere auf ihr senkrecht steht.
Man folgert also umgekehrt, daß s einem dieser Strahlen parallel sein

1 ) Bei Bildern, die mittels einer Parallelprojektion gezeichnet werden, müssen
wir uns gemäß § 1 vorstellen, daß sich das betrachtende Auge in unendlicher Ent-
fernung befindet, und zwar in der Richtung, die durch die projizierenden Strahlen
angegeben wird. Um einen möglichst guten optischen Eindruck eines axonometrisch
gezeichneten Bildes zu erhalten, haben wir daher das Auge auf Unendlich einzustel-
len und ihm überdies die Lage zur Bildebene zu geben, die durch die projizierenden
Strahlen gefordert wird. Bei einer Orthogonalprojektion muß es also senkrecht über
dem Bilde stehen. Der optische Eindruck wird um so besser werden, je weiter man
das Auge von der Zeichnungsebene entfernt.

§ 14- Die Axonometrie.

65

Fig. 74.

muß; um die Richtung von s zu ermitteln, haben wir daher zunächst
die ebengenannten Strahlenpaare zu bestimmen.

Dazu denken wir uns eine besondere
Ebene Eq, die das Dreieck AqBqCq ent-
halten soll, und beziehen sie in der Wei-
se ähnlich (§ 4) auf e, daß ABC und
AoBqCq einander entsprechen. Dann be-
stehen die in § 5, 1 und 2 genannten
Eigenschaften sowohl für e und e', als
auch, für e und £q, sie bestehen also auch
für e und e', und da nach Annahme
A'B' = A A ist, so gibt es in e' und
£q auch ein Geradenpaar, dessen Propor-
tionalitätsfaktor p = 1 ist. Gemäß § 5, 8
u. 9 gelten also für eq und e' alle dort
abgeleiteten Sätze.

Seien nun uq und vq die Geraden durch Co, die in eq den Geraden
u und v von e entsprechen, so bilden auch sie einen rechten Winkel.
Daher sind Uq, Vq und u', v' auch für e und e' die den Punkten Co und
C zugehörigen rechten Winkel. Um sie zu bestimmen, hat man gemäß
§ 5 in der Ebene e' das Dreieck AqBqCq so zu zeichnen (Fig. 74), daß
A B auf A'B' fällt, dann den Kreis zu schlagen, der durch Co und C
geht, und dessen Mittelpunkt auf A'B' liegt, und die Punkte U' und
V, in denen er A'B' schneidet, mit C zu verbinden. Damit ist die Lage
der Strahlen u' und v' bereits bekannt.

Es fragt sich nun noch, welcher dieser beiden Strahlen derjenige ist,
dem die Schnittlinie s beider Ebenen parallel läuft. Um die Begriffe zu
fixieren, bezeichnen wir diesen durch u'; es ist also sowohl v! als auch u
zu s parallel, während v' auf s senkrecht steht. Wir gehen nun wieder
zu den Ebenen e und e' zurück, und denken uns die Ebene e so in die
Ebene e' um die Achse s umgelegt (Fig. 74), daß die Dreiecke ABC
und A'B'C aui verschiedenen Seiten von s liegen. 1 ) Dann wird, da e'
eine Or£/iogona/projektion von e ist, die Verbindungslinie von je zwei
entsprechenden Punkten P und P' beider Ebenen die Achse s senkrecht
schneiden; sei S der Punkt, in dem sich die Geraden d = A'B' und
c = AB auf der Achse s schneiden, und W der Schnitt von s mit VV.
Dann ist

1) VW : SW = VC : U'C,

Dies geschieht der Übersichtlichkeit der Figur wegen.

§ 14- Die Axonometrie. 66

und ebenso folgt, wenn wir noch beachten, daß Eq und e ähnliche Ebenen
sind,

2) VW : SW = VC : UC = V C Q : U C Q .
Nun ist aber VW die Projektion von VW, folglich ist

3) VW > VW.

Die linke Seite von 2) ist daher größer als die linke Seite von 1);
zwischen ihren rechten Seiten muß daher dasselbe Größenverhältnis be-
stehen. Da nun gemäß unserer Konstruktion t/ mit U' und Vq mit V
identisch ist, so ergibt sich schließlich

4) V'C : U'C > VC : U'C.

Durch diese Ungleichung werden die beiden Punkte U' und V , also auch
die Strahlen v! und v' voneinander getrennt. Damit ist der Strahl v! ,
dem s parallel läuft, eindeutig bestimmt. Die Richtung der Geraden s
in s' ergibt sich also eindeutig.

Es ist also nur noch die Neigung von e gegen e' zu ermitteln. Sie
ist bekannt, sobald man die Länge von VW kennt. Diese ergibt sich
aber wieder aus 1), denn SW, VC und U'C sind Strecken von e',
die zeichnerisch bestimmbar sind. Die Neigung von e gegen e' ist daher
ebenfalls eindeutig bestimmt; ihr entsprechen jedoch zwei verschiedene
Ebenen, die symmetrisch gegen die Ebene s' liegen. Damit ist unser
Satz bewiesen. Wir finden sogar zwei Scharen von Ebenen, die ihm
genügen.

Die Konstruktion gestaltet sich demnach folgendermaßen. In der
Ebene e' zeichne man A'B'Ci ähnlich zu dem gegebenen Dreieck
AqBqCq, schlage den durch Cq und C\ gehenden Kreis, dessen Zentrum
auf A'B' liegt, und benenne seine Schnittpunkte U' und V mit A'B'
gemäß der Proportion 4). Man zeichne dann die Gerade WS senkrecht
zu U'C , und bestimme VW gemäß Proportion 1), so ist damit sowohl
die Schnittlinie der Ebene e' mit e als auch ihre Neigung gegen e und
damit ihre Lage im Räume festgelegt.

Wir gehen nun zum Beweis des Satzes I über, dem wir noch da-
durch einen allgemeineren Inhalt geben können, daß wir das rechtwink-
lige gleichseitige Dreikant durch ein beliebiges Dreikant ersetzen. So
gelangen wir zu folgendem, als Satz von Pohlke bezeichneten Theorem:

III. Ist ein Dreikant OABC und ein ebenes Viereck OoAqBqCo be-
liebig gegeben, so kann man eine Ebene e' und eine Projektionsrichtung
so bestimmen, daß die in e' entstehende Parallelprojektion O'A'B'C
des Dreikants dem Viereck OqAqBqCq ähnlich ist.

§ 14- Die Axonometrie.

67

Fig. 75.

Wir nehmen zunächst wieder an, daß eine Ebene
e' und eine Projektionsrichtnng, wie sie der Satz ver-
langt, vorhanden ist. Ferner sei e die durch das Drei-
eck ABC bestimmte Ebene, und 0\ (Fig. 75) derje-
nige Punkt, in dem sie von dem durch O gehenden
projizierenden Strahl getroffen wird, so ist klar, daß-
die Projektionsrichtung bekannt ist, sobald man den
Punkt 0\ kennt. Nun befinden sich e und e' in der
Weise in parallelperspektiver Lage, da&ABCOi und
A'B'C'O' entsprechende Punkte sind, und außerdem
sind O'ÄB'C und O A B C ähnliche Figuren. Wir
können daher wieder, wie beim Beweis des Hilfssat-
zes, die das Viereck Oo^4o-BoCo enthaltende Ebene
So ähnlich so auf e' beziehen, daß OqAqBqCq und
O'A'B'C einander entsprechen, und schließen wie-
der genau wie oben, daß nun auch die Ebenen e und eq in der in § 5
erörterten Beziehung stehen; und zwar sind 0\ABC und OqAqBqCq
entsprechende Punkte. Gemäß § 5, 7 können wir daher den Punkt 0\
mit Hilfe der gegebenen Punkte ABC und A B Cq konstruieren. Damit
ist die Richtung der projizierenden Strahlen bereits bestimmt.

Nun sei £2 irgendeine zu dieser Richtung senkrechte Ebene, und A 2 ,
B 2 , C2 ihre Schnittpunkte mit den durch A, B, C gehenden projizieren-
den Strahlen. Dann kann man A2B2C2 als die Grundfläche eines gera-
den Prismas auffassen, das von der Ebene e' so geschnitten werden soll,
daß die Schnittfigur A'B'C zu AqBqCq ähnlich ist. Unserem Hilfssatz
gemäß kann daher die Ebene e' dieser Bedingung gemäßbestimmt wer-
den. l ) Man sieht auch noch, daß nicht bloi&A'B'C ~ AqBqCq ist, son-
dern auch 0\A' B'C ähnlich zu OqA B Cq, denn die zwischen unseren
Ebenen festgesetzten Beziehungen betreffen stets die ganzen Ebenen,
d. h. also die sämtlichen in ihnen enthaltenen einander entsprechenden
Figuren. Damit ist der Beweis geliefert.

Gemäß dem so bewiesenen Grundsatz kann man also die Richtun-
gen und Längen dreier von einem Punkt ausgehender Geraden stets als
axonometrische Bilder der drei Kanten eines räumlichen Dreikants auf-
fassen, insbesondere auch eines orthogonalen gleichseitigen. Für diesen
Fall bevorzugt man meist die oben genannte schiefe Projektion, beson-
ders die Falle, daß die y-Achse einen Winkel von 45° oder 30° mit der
x-Achse bildet (Kavalierperspektive) . Die anschaulichsten Bilder erhält
man vielfach so, daß man auch die x-Achse nicht senkrecht gegen die
z- Achse annimmt. Die z- Achse nimmt man im allgemeinen vertikal an.

) Es gibt auch hier zwei solche Ebenenscharen.

§ 14- Die Axonometrie.

(kX

3

-MX

M

js

Fig. 76.

Als Beispiele können zunächst alle Figuren die-
nen, die im vorstehenden dem axonometrischen
Grundsatz gemäß gezeichnet worden sind; eine Rei-
he anderer möge hier folgen.

1. Eine sechseckige reguläre Säule so zu zeich-
nen, daß ihre Kanten vertikal werden (Fig. 76).
Beliebig wählbar sind die beiden Geraden, die
zwei Seiten der Grundfläche entsprechen; sie mö-
gen durch AB und AF dargestellt werden. Zieht
man nun durch B eine Parallele zu AF, und durch F eine Parallele zu
AB, so hat man in ihrem Schnittpunkt M das Bild des Mittelpunk-
tes des dem Sechseck umschriebenen Kreises. Durch Verlängerung von
AM, BM, FM über M um sich selbst erhält man daher die Punkte
D, E, G. Gleichlange Vertikalen in A, B, C, D, E, F liefern endlich
die Punkte der oberen Grundfläche. 1 )

2. Die acht Ecken eines Würfels lassen
sich in zwei Gruppen von je vieren zerle-
gen, die je ein reguläres Tetraeder bilden;
jedes Tetraeder enthält sechs Flächendiago-
nalen als Kanten. In Fig. 77 sind AEFG
und HBCD zwei solche Tetraeder 2 ) Man
soll ihre Durchdringungsfigur zeichnen.

Man zeichne zunächst den Würfel selbst
in irgend einer axonometrischen Darstel-
lung. Man beachte nun, daß jeder Mit-
telpunkt einer Würfelfläche Schnittpunkt

zweier Flächendiagonalen ist, also der

Fiff 77
&• ' ' ■ Durchdringungsfigur beider Tetraeder an-

gehört. Damit sind die Durchdringungsgeraden beider Tetraeder be-
stimmt; sie bilden das Oktaeder, dessen Ecken in die Mitten der Wür-
felflächen fallen. Nur vier von ihnen sind sichtbar; nämlich diejenigen,
die von der Mitte der vorderen Würfelfläche ausgehen.

3. Ein reguläres Rhombendodekaeder zu zeichnen. Eine Ebene, die
durch die Mitte eines Würfels geht und zwei Kanten enthält, werde als
Diagonalebene bezeichnet. Dann entsteht das Rhombendodekaeder so
aus dem Würfel, daß man durch jede der zwölf Würfelkanten eine Ebene
legt, die auf der hindurchgehenden Diagonalebene senkrecht steht. Die-
se Ebenen sind die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders;

1 ) Man kann das Sechseck auch so zeichnen, daß man zunächst diejenigen Gera-
den beliebig annimmt, die irgend zwei von M ausgehenden Strecken entsprechen.

2 ) Die ursprünglich gezeichneten Würfelkanten sind nachträglich getilgt worden.

§ 14- Die Axonometrie. 69

aus der Symmetrie des Würfels folgt, daß die in ihnen entstehenden
Begrenzungspolygone kongruente Rhomben sind. Je vier, die durch die
vier Kanten einer Würfelfläche gehen, bilden überdies eine quadratische
Pyramide mit dieser Würfelfläche als Grundfläche, und zwar ist leicht
ersichtlich, daß ihre Höhe gleich der halben Würfelkante ist. Die Ecken
des Rhombendodekaeders bestehen also aus den sechs Spitzen dieser
Pyramide und den acht Würfelecken.

Man erhält es daher am einfachsten, indem
man vom Würfel ausgeht, auf seine Flächen vom S

Mittelpunkt M die Lote fällt, und diese um sich jf^-i.'.
selbst verlängert (Fig. 78). x ) V i ~"~Vfj

4. Einen vierseitigen Pyramidenstumpf zu / JJ<

zeichnen (Fig. 79). Wir gehen von einer dreiseiti- L/t *■*

gen Pyramide aus, deren Spitze O, deren Grund- \)k ...' i'V^.V

fläche ABC = 7 und deren Kanten a, b, c seien; X^s^fT-""!/^

eine gewisse, noch unbestimmt bleibende Ebene ^x\i// / '^

7i möge sie in dem Dreieck A\B\C\ schneiden. _,.

Fie; 78
Aus dem Pohlkeschen Satz folgt zunächst, daß

die axonometrischen Bilder von O', A', B', C und damit auch die Bil-
der a', b', c'4 beliebig wählbar sind. Ebenso können wir aber auch die
Bildpunkte A[, B[, C[ auf a', b', c' beliebig annehmen; ihnen entspre-
chen stets gewisse Raumpunkte A 1} D 1? C\ so daß durch die Wahl von
A[, B[, C[ die Ebene 71 festgelegt ist. 2 ) Die Punkte D und Di, die von
7 und 71 auf einer vierten durch O gehenden Kante bestimmt werden,
sind jedoch nicht mehr beide willkürlich; vielmehr ergibt sich alles wei-
tere auf Grund des in § 4 abgeleiteten Satzes von Desargues. Aus ihm
folgt zunächst, daß die drei Schnittpunkte

A = (B'C, B[C[), B = (CA', C[Ä X \ C = (A'B', A'.B'A

auf einer Geraden So liegen, die das axonometrische Bild der Schnittlinie
von 7 und 71 ist. 3 ) Auf ihr können wir nun einen Punkt Do beliebig
annehmen und festsetzen, daß er Schnittpunkt von Sq mit der durch
O gehenden Ebene (ad) = ö sein soll, und können außerdem auch die
Bildkante d! beliebig zeichnen; sie muß notwendig Bild einer gewissen
in 5 liegenden Kante d sein. Um endlich D' und D[ zu finden, haben wir
wieder Dq mit A' und A[ zu verbinden und die Schnittpunkte dieser
Geraden mit d' zu bestimmen. Sie liefern uns die Punkte D' und D[.

1 ) In der Figur ist diese Konstruktion nur für die obere und untere Grundfläche
des Würfels angedeutet worden.

2 ) Wir konnten daher die Figur 13 (S. 15) als Bild eines drei seitigen Pyramiden-
stumpfes betrachten.

) In Fig. 79 fallt C in den unendlich fernen Punkt von sq.

§ 14- Die Axonometrie.

70

Übrigens schneiden sich auch die Geraden B'D' und B[D[, sowie CD'
und C[D' 1 auf Sq, was zeichnerische Überbestimmungen liefert.

Fig. 79.

Ebenso kann man mit jeder weiteren durch O' angenommenen Kan-
te verfahren und den zugehörigen Stumpf leicht konstruieren.

In gleicher Weise kann man auch den Schnitt eines geraden Zylinders
oder geraden Kegels mit einer Ebene punktweise konstruieren. 1 )

5. Ein reguläres Kubooktaeder zu zeichnen
(Fig. 80). Ein Kubooktaeder entsteht so aus
einem Oktaeder, daß man die sechs Ecken des
Oktaeders mittels eines ihm konzentrischen
und koaxialen regulären Würfels abschneidet.
Man erhält es also am einfachsten, indem man
an jeder Oktaederecke auf den vier von ihr
ausgehenden Kanten die nämliche Strecke ab-
schneidet. Die auf den Oktaederflächen ent-
stehenden Begrenzungspolygone sind im all-
gemeinen Sechsecke; bei besonderer Wahl des
Würfels werden sie Quadrate. 2 )

6. Einen Kugeloktanten in schiefer Projektion zu zeichnen (Fig. 81).
Seien OA, OB, OC die drei aufeinander senkrechten Radien, die den
Oktanten bestimmen, und OA, OB', OC ihre axometrischen Bilder, so
handelt es sich um die Herstellung der Bilder der in den Ebenen OBC

Fig. 80.

1 ) Eine andere Konstruktion ist in

2 ) Vgl. den Anhang, VI.

15 angegeben.

§ 14- Die Axonometrie.

71

Fig. 81.

und OAC liegenden Kreisbogen. Sie sind Teile von Ellipsen, die punkt-
weise konstruiert werden müssen. Sie ergeben sich leicht auf Grund
der Tatsache, daß bei der axonometrischen Darstellung alle zueinander
parallelen Ordinaten eines Kreises gemäß § 5, 3 in demselben Maße ver-
kürzt werden. Zur Ausführung der Zeichnung können wir jeden Kreis-
bogen benutzen, der dazu tauglich ist. Um z.B. den Ellipsenbogen AB'
zu erhalten, gehen wir von dem Kreisquadranten OAC aus, errichten
in einem beliebigen Punkt Q von OA das Lot QP und konstruieren P'
so, daß QP' || OB' und PP' \\ B'C ist, und machen dies für so viele
Punkte, als nötig ist. Analog erhält man den Ellipsenbogen B'C. x )

Wichtig ist, daß die Tangenten dieser Ellip-
senbogen in den Endpunkten nicht gegen die ih-
nen zukommende Richtung verstoßen (§ 1, III).
Sie sind Projektionen der bezüglichen Kreistan-
genten; daher müssen die Tangenten des Bogens
AB' in A und B' den Geraden OB' und OA par-
allel sein, und die des Bogens B'C in B' und C
parallel zu OC und OB' (vgl. Fig. 83).

7. Die Durchdringungsfigur zweier kongruen-
ten Kreiszylinder zu zeichnen, deren Grundflächen so in zwei zueinan-
der senkrechten Ebenen liegen, daß ihre Mittelpunkte zusammenfallen
(Fig. 82).

Wir beschrän-

ken uns auf einen
Oktanten und kon-
struieren zunächst
gemäß 6. den Ellip-
senbogen B'A, der
dem Kreisbogen der
Ebene OAB ent-
spricht. Zieht man
nun in einem Punkt
Q von OA die Gera-
den QP || OC und
QP' || OB', und bestimmt den Punkt R so, daßPi? || QP' und
P'R || QP ist, so ist R ein Punkt der Durchdringungskurve. Sie ist
offenbar eine Ellipse.

8. Die Durchdringung einer Kugel mit einem Kreiszylinder zu zeich-
nen, dessen Grundkreis k den halben Kugelradius als Radius hat, und

Fig. 82.

Die Ellipsenbogen selbst enthält z. B. Figur 83.

§ 14- Die Axonometrie. 72

von dem eine Erzeugende l durch den Mittelpunkt der Kugel geht
(Fig. 83).

Wir beschränken uns wieder auf einen Oktanten, wählen die Erzeu-
gende / als 2-Achse und den Grundkreis k des Zylinders als xy-Ebene,
und zeichnen zunächst wieder die dem Kugeloktanten entsprechenden
Ellipsenbogen OAB' und OCB' ', wie auch die dem Grundkreis k ent-
sprechende Ellipse. Ist S' ein Punkt dieser Ellipse, so kann man das
innerhalb des Kugeloktanten liegende Stück S'P' der durch S' gehen-
den Zylinderkante so zeichnen, daß man sich durch S eine zu OAC
parallele Ebene gelegt denkt. Sie schneidet die Kugel in einem Kreis,
der den Punkt P enthält, und dessen axonometrisches Bild ebenfalls
ein Kreis ist; man hat also nur den Radius dieses Kreises zu finden.
Zieht man nun durch S die Gerade TU \\ OA, und durch T die Gerade
TV || OC, so ist TU = TV dieser Radius. Er ergibt sich wieder in der
unter 6. genannten Art.

9. Endlich ist noch die Herstellung der axonometrischen Bilder aus
den Koordinatenwerten oder aus Grundriß und Aufrißzu erörtern.

Man wird diese Methode immer dann wählen
müssen, wenn die zu zeichnenden Gegenstände nur
durch ihre Koordinaten gegeben sind; man verfährt
dann in üblicher Weise so, daß wenn x, y, z die
Koordinaten sind, man einen Streckenzug OPQR
konstruiert, dessen Seiten den Achsen parallel sind,
und deren Länge sich so ergibt, daß man die gegebe-
Fig. 84. nen Koordinatenwerte mit den ihnen entsprechen-

den Verkürzungsfaktoren multipliziert. (Fig. 84).
Beispielsweise kann man auf diese Weise den Mittelpunkt des Kugelok-
tanten im letzten Beispiel finden. Für ihn hat man x = y = z = l/v3,
und kann daher den Streckenzug leicht herstellen.

Ebenso kann man verfahren, wenn ein Gegenstand durch Grundriß
und Aufriß gegeben ist. Durch sie sind freilich nur zwei Koordinaten
bestimmt. Nimmt man aber eine zur Achse senkrechte Gerade beliebig
an, so kann man sie als Spur einer dritten zur Grundriß- und Aufriße-
bene senkrechten Ebene betrachten, und erhält in den Abständen von
ihr die dritten Koordinaten. Auf Beispiele dieser Art kommen wir in
§ 15 zurück.

Die wesentlichste Aufgabe des Zeichners besteht auch hier in der
Überlegung, wie man am einfachsten zu den Bildfiguren gelangt. Will
man z. B. in Aufgabe 6. noch die Kreise zeichnen, die die Winkel des
Oktanten halbieren, so wird man am besten jeden mittels eines solchen
Kreises herstellen, der in der Zeichnungsebene liegt, was möglich ist.

§ 15. Der scheinbare Umriß.

Wir wenden uns zu einem letzten Gesetz allgemeiner Art, das für
jede ebene Perspektive Abbildung in gleicher Weise erfüllt ist, und
schicken einige einfache Tatsachen voraus.

Eine Kugel, die wir betrachten, erscheint uns stets unter dem Bild
einer Kreisfläche. Jede auf der Kugel verlaufende Kurve muß daher im
Bilde ganz innerhalb dieser Fläche liegen. Der die Kreisfläche umran-
dende Kreis heißt deshalb scheinbarer Umriß der Kugel. Hierin ist ein
allgemeines Gesetz enthalten, zu dessen Erörterung wir nun überge-
hen. 1 )

1. Ist P ein Punkt einer krummen Fläche Q, so

existiert in ihm eine Tangentialebene r, die folgen- / ^\^r^ZJj-,

dermaßen definiert ist: Wird durch den Punkt P auf /^~~~~^^^^/

der Fläche Q, eine Kurve c gezogen, und im Punkte y^-=^>^/ ^

P ihre Tangente t konstruiert, so fällt diese, welches v - r

& ' ' big. 85.

auch die Kurve c sein mag, in die Ebene r (Fig. 85).

Enthält also die Fläche insbesondere eine durch P gehende Gerade, so

ist diese als ihre eigene Tangente zu betrachten und muß daher ganz in

r enthalten sein.

2. Die Ebene, die eine Kegelfläche $ in einem Punkte P einer ihrer
Kanten k berührt, enthält diese Kante und ist zugleich Tangentialebe-
ne der Kegelfläche in jedem anderen Punkt dieser Kante k. Sie geht
überdies durch den Scheitel des Kegels.

3. Auf dem Kegel $ denke man sich nun eine durch den Punkt P
gehende Kurve c und schneide aus dem Kegel durch eine Ebene e', die
nicht durch seine Spitze S gehen soll, die Kurve d aus, so kann man
sie als Projektion der Kurve c von S auf e' auffassen. Sei P' wieder der
Punkt von e', der dem Punkt P der Kurve c entspricht. Dann besteht
der Satz:

I. Die Tangente der ebenen Kurve c' im Punkt P' ist die Projektion
der Tangente t, die die Kurve c im Punkte P berührt.

Die Tangentialebene r, die den Kegel in P berührt und die Tangen-
te t enthält, geht nämlich gemäß 2. durch den Scheitel S des Kegels;
mithin ist die Projektion von t in e' die Schnittlinie von e' mit r. Ande-
rerseits ist die Tangente der ebenen Kurve d in P' gemäß 2. ebenfalls
in r enthalten, und da sie auch in e' liegen muß, so ist sie gleichfalls
Schnittlinie von e' mit r. Damit ist der Satz bewiesen. Man kann ihn

Die Beweisgründe sind im folgenden teilweise der Anschauung entnommen.

§ 15. Der scheinbare Umriß. 74

kurz so aussprechen, daß die Tangente der Projektion gleich der Pro-
jektion der Tangente ist.

4. Der vorstehende Satz kann allerdings eine Ausnahme erleiden,
nämlich dann, wenn die Tangente t der Kurve c in die Kegelkante k
fällt. Die Projektion von t reduziert sich dann auf den Punkt P' selbst.
Die Gestalt der Kurve d im Punkt P' hängt alsdann davon ab, ob die
Kegelkante k für die Kurve c eine gewöhnliche oder eine Wendetangente
ist. Im ersten Fall hat d offenbar im Punkte P' eine Spitze.

5. Sei nun Q, die Oberfläche eines Körpers S, der ebenflächig oder
krummflächig begrenzt sein kann, und sei wieder So das im Auge liegen-
de perspektivische Zentrum. Dann lassen sich alle durch Sq gehenden
Strahlen in zwei Gattungen teilen, je nachdem sie mit E mindestens
einen oder keinen Punkt gemein haben. Die ersten erfüllen einen ge-
wissen Raumteil V des Bündels Sq, dessen Oberfläche eine kegelartige
Fläche $ mit dem Scheitel Sq ist, und zwar enthält jede Kegelkante min-
destens einen Punkt der Oberfläche Q von E. Sie kann unter Umständen
auch mehr als einen Punkt von E enthalten. L ) Ist Q insbesondere eine
krumme Fläche, so ist der Kegel $ nichts anderes als der von So an die
Fläche gelegte Tangentialkegel, und jede Tangentialebene dieses Kegels
ist zugleich eine Tangentialebene der Fläche Q.

6. Die Gesamtheit aller Punkte der Oberfläche Q, die zugleich dem
Kegel $ angehören, wollen wir durch u bezeichnen. Da dieser Kegel
seine Spitze in Sq hat, so liefert uns sein Schnitt mit der Bildebene ß
die Bildkurve v! von u. Wir bezeichnen sie als den scheinbaren Umriß
oder als Umrißkurve; offenbar schließt sie dasjenige Flächenstück der
Bildebene ß ein, in dem die Bildpunkte der sämtlichen Punkte von E
enthalten sind.

7. Ist Q eine krumme Fläche, was wir von nun an ausschließlich
annehmen, so ist u die Kurve, längs deren der Tangentialkegel $ die
Fläche Q berührt. 2 ) Beide Flächen haben daher in jedem Punkt P
dieser Kurve dieselbe Tangentialebene; mit anderen Worten, die Tan-
gentialebene r der Fläche Q in einem Punkt P von u geht stets durch
den Scheitel 5*0.

8. Sei nun c irgendeine auf der Fläche Q verlaufende Kurve, die
ebenfalls durch P geht, und d ihre Bildkurve in ß, so wird d jedenfalls
durch den Punkt P' gehen. Es läßt sich aber auch zeigen, daß sich die

1 ) Ist z. B. E ein Polyeder, und geht eine Ebene dieses Polyeders durch So, so gibt
es Kegelkanten, die in diese Ebene fallen, und denen ein ganzes Stück der Oberfläche
$ angehört.

2 ) Da ein Irrtum nicht entstehen kann, wird auch u als Unirißkurve bezeichnet

werden.

§ 15. Der scheinbare Umriß.

75

beiden Kurven d und v! im allgemeinen in P' berühren. Sind nämlich
t c und t u die Tangenten der Kurven c und u im Punkte P, so liegen
sie gemäß 1. beide in der Tangentialebene r. Diese Tangentialebene
geht aber, wie wir eben sahen, durch S* hindurch, und das heißt nichts
anderes, als daß r die Ebene ist, deren Schnitt mit ß sowohl das Bild t' c
von t c als auch das Bild t' u von t u ergibt. Daher sind t' c und t' u identisch,
womit der Satz bewiesen ist. Also folgt:

IL Die auf der Oberfläche fl von £ verlaufenden Kurven c haben
im allgemeinen die Eigenschaft, daß ihre Bildkurven den scheinbaren
Umriß berühren.

Eine Ausnahme kann nur eintreten, wenn die Tangente t c durch Sq
geht; nur dann versagt die vorstehende Beweisführung. Dann reduziert
sich das Bild t c in ß auf einen Punkt, und die Kurve d kann in P' eine
Spitze erhalten. Ein Kreuzen beider Kurven ist aber ausgeschlossen,
denn aus der Definition von u' folgt unmittelbar, daß d ganz dem durch
v! begrenzten Flächenstück angehören muß.

Die einfachsten Beispiele erhalten wir, wenn wir zur Darstellung
durch Grundriß und Aufriß oder zur axonometrischen Darstellung über-
gehen.

1. Eine Schraubenlinie in
Grundriß und Aufriß darzustel-
len (Fig. 86). Wird die Grund-
rißebene auf den Zylinderkan-
ten senkrecht gewählt, so ist der
Grundriß mit dem Grundkreis
k des Zylinders identisch. Den
Aufriß konstruiert man punkt-
weise, indem man den Grund-
kreis in n gleiche Teile teilt,
und die den Teilpunkten entspre-
chenden Aufrißprojektionen pro-
portional zunehmen läßt. Sind
A, B, C, D ... die Teilpunkte
auf dem Kreise, und ist d eine
beliebige Länge, so hat man

B 2 B = d, C 2 C

Fig. 87.

Fig. 86.

2d, D 2 D = 3d...

zu machen. Der scheinbare Umriß besteht aus zwei Geraden, die Projek-
tionen zweier Zylindergeraden sind; sie werden von der Schraubenlinie
abwechselnd berührt, und zwar in Punkten, die im konstanten Abstand

§ 15. Der scheinbare Umriß. 76

2h aufeinanderfolgen, wenn h die Höhe eines halben Schraubenganges
ist. Der Aufriß ist in diesem Fall eine einfache Wellenlinie.

2. Um dieselbe Schraubenlinie in derjenigen schiefen Projektion zu
zeichnen, bei der die y-Achse in die Richtung der negativen z-Achse
fällt, verfährt man am einfachsten in der Weise, daß man sich zunächst
gemäß § 14 die Ellipse k' punktweise herstellt, die Bild des Grund-
kreises k ist. (Fig. 87) Ist dann P[ der Bildpunkt des Punktes P\ von
Figur 86 1 ), so erhält man den Bildpunkt P' des Schraubenlinienpunk-
tes P in der Weise, daß man die ^-Koordinate P0P2 um die Strecke
PqP[ verkürzt, also P[P' = P0P2 macht. Auch hier berührt das Bild
der Schraubenlinie den von den beiden äußersten Erzeugenden gebilde-
ten scheinbaren Umriß.

Wird die Projektionsrichtung so gewählt, daß sie der Tangente im
Punkte S parallel ist, so erhält die Bildkurve in S' eine Spitze, die
senkrecht gegen die Zylindergerade verläuft.

In dieser Weise kann man auch mit an-
dern auf dem Zylinder verlaufenden Kur-
ven verfahren, deren Grundriß und Aufriß
leicht herstellbar ist. Um z. B. eine Ellipse
zu zeichnen, die durch eine Ebene e ausge-
schnitten wird, wähle man die Aufrißebe-
ne zu e senkrecht; dann reduziert sich der
Fig. 88. Aufriß auf eine Gerade, nämlich auf den

Schnitt von e mit der Aufrißebene. Ähnlich
kann man auch Kurven zeichnen, die auf einem geraden Kegel verlau-
fen.

3. Eine Kreisscheibe mit einem in der Mitte befindlichen zylindri-
schen Loch zu zeichnen (Fig. 88).

Wir erhalten die einfachste Darstellung, indem wir wiederum die
y- Achse in die Richtung der negativen 2-Achse fallen lassen.

Bei dieser Darstellung werden die beiden Kreise G und H, die die
äußere zylindrische Fläche begrenzen, zu kongruenten Ellipsen, deren
Mittelpunkte vertikal übereinanderliegen, und das gleiche gilt für die
Grenzkreise g und h des inneren Zylindermantels. Man erhält sie wie
im vorstehenden Paragraphen. Es gibt einen äußeren und einen inneren
scheinbaren Umriß. Der äußere besteht aus Teilen der Ellipsen G und
H und zwei parallelen Geraden; diese sind Bilder der beiden Zylinder-
kanten, längs deren die Tangentialebenen des Zylinders zur yz-Kch.se

1 ) Man beachte, daß sich der Zylinder unsern Festsetzungen gemäß (§ 10) hinter
der Aufrißebene befindet, so daß der Grundriß beim Zurückdrehen hinter die Ebene
des Papiers tritt.

§ 15. Der scheinbare Umriß. 77

parallel sind. Diese beiden Geraden müssen daher die Ellipsen berüh-
ren. In den inneren scheinbaren Umriß gehen im vorliegenden Fall nur
Teile von g und h ein. Zu beachten ist, daß die bezüglichen Teile von
g und h in der Figur unter einem spitzen Winkel zusammentreffen;
die Kreuzungspunkte müssen deshalb, um einen deutlichen Gesichtsein-
druck hervorzubringen, scharf zu erkennen sein.

4. Eine Kugel mit einigen ihrer größten Kreise in
orthogonaler Projektion zu zeichnen (Fig. 89).

Derjenige größte Kreis, der zur Bildebene paral-
lel liegt, liefert den scheinbaren Umriß. Die anderen
größten Kreise berühren ihn; man erhält ihre Bilder
gemäß § 14. x )

5. Der scheinbare Umriß ergab sich bisher unmit-
telbar in der Weise, daß wir die Bilder der in ihn Fig. 89.
eingehenden Kurven direkt zeichnen konnten. In den

weniger einfachen Fällen wird er jedoch, wie es seiner Natur entspricht,
nur als Enveloppe konstruierbar sein. Ich gebe auch hierzu noch einige
einfachere Beispiele.

Um zunächst einen Kreisring in derselben axonometrischen Dar-
stellung zu zeichnen, die vorher benutzt wurde, geht man am besten
von einer Figur aus (Fig. 90), die den Schnitt des Ringes mit einer
durch die Rotationsachse (z- Achse) gehenden Ebene darstellt; die so
entstehende Schnittfigur besteht aus den beiden Kreisen k\ und ki. Wir
zeichnen nun zunächst wieder die axonometrischen Bilder der Kreise oi
und Ü2 2 ), in denen der Ring von der Äquatorebene geschnitten wird,

1 ) Das Auge ist durchaus gewöhnt, Bilder, die sich auf die Kugel beziehen, in
orthogonaler Projektion dargestellt zu sehen. Wahrscheinlich beruht es darauf, daß
die Kugel dem Auge von jedem Punkte aus gleich erscheint, und zwar so, daß ihr
wirklicher Umriß u ein Kreis ist. Es wünscht daher auch den scheinbaren Umriß
u' als Kreis zu sehen. Dies ist aber nur für die orthogonale Projektion der Fall.
Bei schiefer Projektion ist der scheinbare Umriß eine Ellipse, doch projiziert sich
auch bei ihr der zur Bildebene parallele größte Kreis in seiner natur liehen Form.
Ihn pflegt man deshalb bei schiefer Projektion im Bilde zu zeichnen. Er wird aber
von den Bildern der anderen größten Kreise im allgemeinen nicht berührt, sondern
gekreuzt. Ein derartiges Bild entsteht z. B., wenn wir in Figur 83 den Kreisbogen
AC zum ganzen Kreis und die Ellipsenbogen AB' und CB' zu den ganzen Ellipsen
vervollständigen. Die Ellipse, die in diesem Fall den scheinbaren Umriß darstellt,
würde diese Kurven wieder berühren. Doch ist ein so gezeichnetes Bild dem Auge
trotz setner Richtigkeit aus den genannten Gründen ungewohnt und wird deshalb
besser vermieden. Für einzelne Teile der Kugel ist dies, wie die Figuren zeigen, nicht
der Fall.

2 ) Der Index 1 entspricht hier und im folgenden dem inneren, der Index 2 dem
äußeren Kreis.

§ 15. Der scheinbare Umriß.

78

Fig. 90.

sowie die Bilder des oberen und unteren Berührungskreises b\ und 6 2 -
Die Durchmesser dieser Kreise sind aus der Durchschnittfigur unmit-
telbar zu entnehmen; ihre Bilder sind Ellipsen, die wir ebenso wie bei
den vorstehenden Aufgaben, zu konstruieren haben. l )

Um den scheinbaren Umriß zu erhalten, wollen wir diesmal eini-
ge seiner Punkte direkt konstruieren, und zwar solche, die Punkten der
yz-Ebene entsprechen. Die Richtung der projizierenden Parallelstrahlen
nehmen wir in bestimmter Weise als gegeben an. Sei 4> der Winkel, den
sie mit der z- Achse bilden. Zeichnet man dann in der Durchschnittfigur
die Geraden, die mit der z- Achse den Winkel (f) bilden und die Kreise
k\ und k 2 berühren, so bestimmen diese Berührungspunkte, wie leicht
ersichtlich, diejenigen Parallelkreise u\, Ui und v±, v 2 des Kreisrings,
deren in der yz-Ebene liegende Punkte den Umrißkurven angehören.
Die Durchmesser dieser Parallelkreise sind aus der Figur unmittelbar
zu entnehmen. Deren Bilder zeichnen wir ebenfalls axonometrisch und
können nunmehr die Umrißkurven als Enveloppen der sämtlichen vor-
handenen Ellipsen herstellen. Jede dieser Ellipsen besitzt Punkte, die
dem scheinbaren Umriß angehören.

x ) Das Bild des Kreises bi fehlt in der Figur, da er unsichtbar ist.

§ 15. Der scheinbare Umriß.

79

Auch hier ist zu beachten, daß der innere Teil des scheinbaren Um-
risses, wie im vorigen Beispiel, in zwei Teile zerfällt, die unter einem
spitzen Winkel zusammenstoßen. Gerade diese Eigenschaft des Bildes
ist für das Hervorbringen eines guten optischen Eindruckes wesentlich.

6. Ein Rotationshyperboloid H
axonometrisch in schiefer Projektion
zu zeichnen. (Fig. 91).

Sind k\ und k 2 zwei Kreise des Hy-
perboloids, deren Ebenen vom Mit-
telpunkt gleichen Abstand haben, so
wird jede Gerade des Hyperboloids
diese Kreise in zwei solchen Punkten
P\ und P 2 schneiden, daß die Ebenen,
die P 1 und P 2 mit der Hauptachse ver-
binden, einen konstanten Winkel ein-
schließen. Darauf beruht die folgende
Konstruktion.

Man zerlege k\ und k 2 in gleich vie-
le Teile, bezeichne die senkrecht über-
einanderliegenden Teilpunkte durch

gleiche Ziffern und konstruiere gemäß § 14 deren axonometrische Bil-
der. Dann verbinde man den Punkt 1 von k[ mit dem Punkt v von k' 2 ,
ebenso 2 von k[ mit v + 1 von k' 2 und fahre so fort, so erhält man das
Bild der einen Geradenschar. 1 ) Die andere erhält man ebenso, wenn
man die Punkte 1,2,... von k' 2 mit u, v + 1, . . . von k[ verbindet. Al-
le diese Geraden müssen den scheinbaren Umriß berühren. Dieser ist
daher nichts anderes als die Enveloppe unserer Geradenscharen. Um
die Figur anschaulich zu machen, sind nur diejenigen Stücke der Gera-
den gezeichnet worden, die auf dem vom Auge So sichtbaren Teil des
Hyperboloids liegen.

Fig. 91.

In der obigen Figur ist v = 9.

§ 16. Die stereographische Projektion.

Außer den auf der Perspektive beruhenden bildlichen Darstellungen
sind für besondere Zwecke andere Abbildungsmethoden im Gebrauch.
Eine der wichtigsten ist die stereographische Projektion.

Die stereographische Projektion kann
noch als Sonderfall der allgemeinen Per-
spektive angesehen werden, mit der Maß-
gabe, daß nur die Punkte einer Kugelfläche
der Abbildung unterworfen werden. Man
fasse auf der Kugel (Fig. 92) l ) zwei End-
punkte eines Durchmessers in Betracht, die
wir Nordpol N und Südpol S nennen wol-
( len, lege im Südpol S die Tangentialebene

e', betrachte den Nordpol N als den Schei-
tel der Perspektiven Beziehung und die Tangentialebene e' als die Bil-
debene, ziehe durch TV einen beliebigen Strahl, der die Kugel in einem
Punkt A und die Tangentialebene in A' schneide, und hat damit dem
Punkt A der Kugel den Bildpunkt A' der Ebene e zugewiesen. Jedem
durch TV gehenden Strahl, der die Kugel noch in einem zweiten von iV
verschiedenen Punkt schneidet, entspricht so ein Bildpunkt A', wäh-
rend umgekehrt auch zu jedem Punkt B' der Ebene ein Punkt B der
Kugel gehört, nämlich der stets vorhandene Punkt B, in dem der Strahl
NB' die Kugel außer in iV durchdringt. Der Punkt S ist mit seinem
Bildpunkt identisch.

Eine Ausnahme tritt nur für den Punkt N selbst ein und für die
Strahlen, die die Kugel in N berühren. Sie sind der Ebene s' parallel.
Will man auch hier das Gesetz des eineindeutigen Entsprechens aus-
nahmslos gestalten, muß man wieder uneigentliche Punkte der Ebene
e' einführen; im Gegensatz zu § 6 hat dies aber hier so zu geschehen,
daß man der Ebene nur einen uneigentlichen Punkt beilegt und ihn
dem Punkt TV als Bildpunkt zuweist. Dies erweist sich in der Tat als
zulässig. 2 )

Näher hierauf einzugehen, ist nicht nötig, da es für die praktischen
Zwecke, die wir hier im Auge haben, nicht in Betracht kommt. Hat man
nämlich eine stereographische Abbildung eines solchen Teiles der Ober-
fläche herzustellen, der den Nordpol enthält, so wird man den Punkt S
als Zentrum der Projektion und als Bildebene e' die Tangentialebene
in N wählen.

1 ) Die Figur enthält von der Kugel nur den größten Kreis N AS.

2 ) Vergleiche den Anhang, VI.

§ 16. Die stereographische Projektion.

81

Die Wichtigkeit und Nützlichkeit der stereographischen Projektion
beruht auf folgenden zwei Sätzen:

I. Jedem Kugelkreis k entspricht als ebenes Bild ein Kreis k'.

IL Zwei Kugelkreise schneiden sich unter denselben Winkeln, wie
ihre Bildkreise.

Den ersten Satz beweisen wir so, daß wir zeigen, daß gewissen Grup-
pen von vier Punkten A, B, C, D der Kugel, die auf einem Kreise k
liegen, vier Bildpunkte entsprechen, die ebenfalls auf einem Kreise lie-
gen.

Verbindet man (Fig. 92) S mit A, so ist SA eine Höhe des recht-
winkligen Dreiecks NSA', und daher besteht die Relation

1) NS 2 = NA . NA'.

Sei nun k ein auf
der Kugel liegender
Kreis, rj die ihn enthal-
tende Ebene, und e die
Schnittlinie der Ebe-
nen r\ und e'. Wir neh-
men auf dem Kreis k
vier Punkte A,B,C,D
so an, daß (Fig. 93) x )
die Sehnen AB und
CD sich auf e in einem
Punkte O schneiden,
und ziehen die vier Strahlen

NAA', NBB',

NCC, NDD'.
Ist dann a die Ebene NAB, und 7 die Ebene NCD, so schneiden
sich die drei Ebenen e', a und 7 ebenfalls in O; daher gehen durch ihn
auch die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen hindurch, also auch
die von a und e' und die von 7 und et '. Auf der ersten liegen die Punkte
A' und B' ', auf der zweiten C und D', und wir folgern so, daß OA'B'
und OC'D' je eine Gerade bilden. Wird nun die Relation 1) auf die

Fig. 93.

l ) Die Figur soll nur die Lage der Geraden und Ebenen erkennen lassen. Die
Gerade e ist in ihr nicht gezeichnet.

§ 16. Die stereographische Projektion. 82

Strahlen NA und NB angewandt, so folgt

2) NA . NA' = NB . NB',

und dies bedeutet, daß die vier Punkte A, B, A', B' auf einem gewissen
Kreise k a liegen. Andererseits schneiden sich AB und A'B' in 0, und
daher folgt aus dem Sehnensatz für diesen Kreis k a weiter

3) OA.OB = OÄ . OB'.
In derselben Weise ergibt sich

OC .OD = OC . OD'.
Nun ist aber, da A, B, C, D Punkte des Kreises k sind,

4) OA . OB = OC . OD,
also folgt schließlich

5) OÄ . OB' = OC . OD';

es liegen also in der Tat auch die Punkte A', B', C, D' auf einem
Kreise. Da eine solche Relation für je zwei durch gehende Geraden
abgeleitet werden kann, ist damit das Bild k' von k als Kreis erwiesen.

Das Bild eines jeden durch iV und S gehenden Meridians ist insbe-
sondere eine durch S gehende Gerade, und das Bild jedes Parallelkrei-
ses ein Kreis mit dem Mittelpunkt S. Den Mittelpunkt eines beliebigen
Kreises k! findet man auf Grund davon, daß es einen Durchmesser des
Kreises k gibt, der in einen Durchmesser des Kreises k! übergeht, näm-
lich denjenigen, den die durch NS gehende auf k senkrechte Ebene
enthält.

Um den Satz II zu beweisen, schicken wir zunächst folgende evidente
Tatsachen voraus.

1. Sind k und k\ zwei Kugelkreise, die sich in den Punkten P und
Pi schneiden, so sind die Winkel, die sie in P und P x bilden, einander
gleich, und zwar sind diese Winkel identisch mit den Winkeln, die ihre
Tangenten in P und P\ bilden. Das gleiche gilt für zwei ebene Kreise.

2. Sind k, k\, &2 • • • Kugelkreise, die sich im Punkte P berühren,
also in diesem Punkte dieselbe Tangente t haben, so berühren sich die
Bildkreise k' , k[, k' 2 . . . sämtlich in P', und haben in P' die Bildgerade
t' als Tangente.

Man sieht nun zunächst, daß der Satz II in dem Fall evident ist,
daß die Kugelkreise k und k\ beide durch den Südpol S gehen, also
ihre Tangenten t und t\ in der Ebene e' liegen. Dann gehen nämlich
auch die Bildkreise k' und k[ durch S, und deren Tangenten t' und t[
sind mit t und t\ identisch, woraus die Behauptung unmittelbar folgt.

§ 16. Die stereographische Projektion. 83

Hieraus ergibt sich der Beweis des allgemeinen Falles folgenderma-
ßen. Seien k und l irgend zwei Kugelkreise, die sich im Punkte P schnei-
den, sei (k, l) der von ihnen gebildete Winkel x ), und seien k! und /' die
Bildkreise, so ist zu zeigen, daß

1) l{k,l) = l{k',l')

ist. Gemäß 1. und 2. schließen wir dann zunächst, daß es zwei Kreise
ki und l\ gibt, die in P dieselben Tangenten haben, wie k und l, und
überdies durch S gehen, und es ist

2) Z(M) = Z(fci,/i).

Die Bildkreise k[ und l[ gehen dann ebenfalls durch S, und gemäß 1.
und 2. ist auch

3) l{k',l') = l{k[,l[).

Da nun aber auf Grund des eben bewiesenen Sonderfalles

4) l{k u l l ) = l{k' 1 ,l' 1 ).

ist, so folgt damit auch die Richtigkeit der Relation 1). Damit ist der
Satz II in vollem Umfange bewiesen.

Die durch die stereographische Projektion vermittelte Abbildung
wird deshalb als winkeltreu bezeichnet. Denkt man sich auf der Kugel
ein sehr kleines Kugeldreieck, so entspricht ihm ein ebenes Kreisdreieck
mit gleichen Winkeln, und da man diese Dreiecke in der Annäherung
als geradlinig betrachten kann, so sagt man, daß die Abbildung in den
kleinsten Teilen ähnlich ist. Abbildungen dieser Art heißen auch kon-
form.

Als Beispiel behandeln wir diejenige
Kugelteilung, die durch die sechs Diago-
nalebenen eines der Kugel einbeschriebenen
Würfels entsteht. Durch jeden Würfeleck-
punkt gehen drei von ihnen; wir haben also
auf der Kugel sechs größte Kreise, die sich
zu je dreien in einem Punkt schneiden. Den
Würfel denken wir uns in der Stellung, die
Figur 57 zeigt; die Diagonale AH fällt also
mit der Achse NS zusammen.

Die drei durch NS = HA gehenden pj„ 94

Kreise projizieren sich (Fig. 94) in je eine
durch A gehende Gerade; jede von ihnen enthält die Bilder von zweien

1 ) Es gibt zwei solcher Winkel für k, l und k', V '; die obige Relation gilt naturge-
mäß für jedes Paar entsprechender Winkel.

§ 16. Die stereographische Projektion. 84

der Ecken B, C, D und E, F, G. Nur die Längen AB\ und AE\ sind
noch zu ermitteln. Offenbar erhalten wir AB X , indem wir in Figur 56
HB bis zum Schnitt Bi mit der durch A gehenden Horizontalen ver-
längern; analog ergibt die Verlängerung von AB his zum Schnitt mit
der durch H gehenden Horizontalen die Lange von AE\. Die Kreise
durch B 1 C 1 E 1 F 1 , dD^id und BiD^id liefern die Bilder der drei
gesuchten Diagonalkreise unserer Kugelteilung. l )

Vgl. den Anhang, VI.

§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive.

Um zwei Ebenen e und S\ parallelperspektiv aufeinander zu bezie-
hen 1 ), genügt es gemäß § 5, 6 einem beliebigen Punkt P der Ebene e
einen beliebigen Punkt Pj von e-y als entsprechenden zuzuweisen; die
Verbindungslinie von P und Pi bestimmt die Richtung der projizie-
renden Strahlen. Ferner schneiden sich gemäß Satz II von § 4 je zwei
entsprechende Geraden g und g\ beider Ebenen auf ihrer Schnittlinie
s, die eine sich selbst entsprechende Gerade ist.

Wird die Ebene E\ um die Achse s in die
Ebene e hineingedreht, so wird g\ im allge-
meinen nicht mit g zusammenfallen. Es ist
aber leicht, ein Paar entsprechender Gera-
den von e und e-y zu finden, das diese Ei-
genschaft besitzt. (Fig. 95). Dazu braucht

man nur, nachdem man ei in e hineinge-

Fie 95
dreht hat, P\ und P zu verbinden, so stellt 6 '

diese Verbindungslinie ein Paar zusammenfallender Geraden dar. Ist

nämlich G ihr Schnittpunkt mit s, so ist G = G\ und die Geraden

GP und G\P\ sind daher auch für die ursprüngliche Lage von e und e\

entsprechende Geraden beider Ebenen. Wir bezeichnen sie durch p und

Pi-

Auf diesen Geraden p und p\ gibt es außer dem Punkt G = G\ noch

ein zweites Paar entsprechender Punkte, das bei der Vereinigung von E\
mit e zusammenfällt, nämlich ihre unendlichfernen. Da wir es nämlich
mit einer parallelperspektiven Beziehung zu tun haben, so sind (§ 6, I)
die unendlichfernen Punkte von p und p\ entsprechende Punkte beider
Ebenen, andererseits ist klar, daß sie bei der Vereinigung von B\ mit e
zusammenfallen. Gibt es auf p und p\ noch ein drittes Paar derartiger
Punkte A und A 1} so müssen alle Paare entsprechender Punkte zusam-
menfallen; denn man hat GA = G\Ax, und der zu p und pi gehörige
Proportionalitätsfaktor g hat daher den Wert 1. Dies wollen wir jedoch
ausdrücklich ausschließen; insbesondere wird also auch der Punkt P\
nicht mit P zusammenfallen.

Sei jetzt Q irgendein Punkt von e, so können wir durch ihn eine
Gerade q parallel zu p legen. Dann ist auch q\ parallel zu p%, und da
sich q und gi überdies in einem Punkt von s schneiden, so bilden auch q
und qi ein Paar entsprechender Geraden, das bei der vereinigten Lage
von e und ei zusammenfällt. Für die vereinigte Lage ist also q = qi

1 ) Es ist für das Folgende bequemer, die sonst immer durch e und e' bezeichneten
Ebenen jetzt e und £j zu nennen.

§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive. 86

eine Gerade, die sowohl den Punkt Q wie auch den Punkt Q± enthält
und außerdem durch den unendlichfernen Punkt von p geht. Bezeichnen
wir diesen Punkt noch durch S^, so ergibt sich nunmehr das folgende
Resultat:

I. Die beiden vereinigt liegenden Ebenen e und E\ sind so aufeinan-
der bezogen, daß sich je zwei entsprechende Geraden auf der Achse s
schneiden, und je zwei entsprechende Punkte auf einem durch ein festes
Zentrum S^ gehenden Strahl liegen. Der Punkt Soo und jeder Punkt der
Achse s entspricht sich selbst, ebenso jeder durch S^ gehende Strahl. 1 )

Von den vereinigt liegenden Ebenen e und e± sagen wir auch jetzt,
daß sie sich in parallelperspektiver Lage befinden, und nennen s die
Achse und S^ das Zentrum der Perspektivität. Statt Perspektivität
sind auch die Bezeichnungen kollineare Lage, Kollineationsachse und
Kollineationszentrum im Gebrauch.

Um eine solche Beziehung zu vermitteln, konnten wir in der ur-
sprünglichen Lage von e und e\ ein Punktepaar P, P\ beliebig einan-
der zuweisen. Außerdem ist auch die Schnittlinie 5 als gegeben zu be-
trachten. Dies überträgt sich analog auf die vereinigte Lage. Hat man
nämlich für die vereinigte Lage eine Achse s und ein Punktepaar P, P\
beliebig ausgewählt, und wird dann die vereinigte Lage durch Ausein-
anderdrehen von e und E\ um s als Achse zunächst wieder aufgehoben,
so ist durch das Punktepaar P, P\ eine Projektionsrichtung und damit
eine parallelperspektive Beziehung vermittelt. Damit ist jedem Punkt
der einen Ebene ein entsprechender der anderen zugewiesen, und dies
bleibt bestehen, wenn wir die vereinigte Lage wieder herstellen. Da nun
in der vereinigten Lage durch das Punktepaar P, P 1 auch der Punkt
S^ bestimmt ist, können wir dies folgendermaßen als Satz aussprechen:

IL Um zwei vereinigte Ebenen e und e\ in parallelperspektive Be-
ziehung zubringen, kann mau die Achse s, das Zentrum S^ und auf
irgendeinem durch S^ gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punk-
te P und P\ beliebig annehmen.

Unser Beweis ging so vor, daß wir die Ebenen e und E\, um einen
beliebigen Winkel auseinander drehten. Man kann daher fragen, ob die
sich für die vereinigte Lage einstellende parallelperspektive Beziehung
von diesem Winkel abhängt. Dies ist jedoch nicht der Fall; vielmehr

) Im allgemeinen entpricht also einem Punkt der einen Ebene ein von ihm ver-
schiedener Punkt der anderen, nur S^ und die Punkte von s machen eine Ausnahme
und entsprechen sich selbst.

§17. Die Relief- und Theaterperspektive. 87

ist die so hergestellte Perspektive Beziehung der vereinigten Ebenen e
und E\ durch s, 6*00 und das Punktepaar P, P\ eindeutig bestimmt. Um
dies nachzuweisen, ist nur zu zeigen, daß sich zu einem gegebenen Punkt
Q von e der zugehörige Punkt Q\ von E\ eindeutig konstruieren läßt
(Fig. 95). Man ziehe hierzu durch Q die Gerade q parallel zur Geraden
p = PP\ und außerdem die Gerade QP; ist G ihr Schnitt mit s, so liegt
Qi erstens auf qi = q und zweitens auf der Geraden g\ = GP\, die der
Geraden g = GP entspricht. Damit ist Q\ eindeutig bestimmt und der
Beweis geliefert.

Sei endlich e eine durch P gehende Gerade von e, die zu s paral-
lel ist, also durch den unendlichfernen Punkt von s geht, so entspricht
ihr in e\ eine Gerade e\, die ebenfalls durch diesen Punkt geht, also
ebenfalls zu s parallel ist. Jeder zu s parallelen Geraden der einen Ebe-
ne entspricht also eine ebensolche Gerade der anderen. Unter den zu s
parallelen Geraden von e befindet sich insbesondere auch die unendlich-
ferne Gerade hoc von e; ihr entspricht daher eine zu s parallele Gerade
hi von £1, und ebenso gibt es in e eine zu s parallele Gerade k; die der
unendlichfernen Geraden von E\ entspricht. Wir finden so die Resultate
wieder, die wir analog schon in § 7 abgeleitet haben.

Wir unterwerfen die Ebene s nunmehr
der in § 2 erörterten Abbildung, und zwar
in der Weise, daß die Ebenen e und e' sich
in der Achse s schneiden mögen. l ) Da-
bei entspricht dem Punkt Soo der Ebene
e ein auf dem Horizont von e' liegender
Fluchtpunkt S, und wir erhalten für die
Bildebene e' unmittelbar folgenden Tat- Fig. 96.

bestand. In ihr befinden sich zwei Ebenen

e' und e[ in der Weise in vereinigter Lage, daß je zwei entsprechende
Punkte P' und P[ auf einem durch S gehenden Strahl liegen, und je
zwei entsprechende Geraden g' und g[ sich auf der Achse s schneiden.
Der Punkt S und jeder Punkt der Achse s entspricht sich wieder selbst.
Auch jetzt sagen wir, daß sich e' und e\ in perspektiver oder kollinearer
Lage befinden, und nennen s die Achse und S das Zentrum der Per-
spektiven oder kollinearen Lage. Auch von dem Satz II erkennen wir
leicht, daß er sich auf diesen allgemeineren Fall der Perspektiven Lage
überträgt. Wird nämlich (Fig. 96) in der Ebene e' eine Gerade s, ein
Punkt S und auf einem durch S gehenden Strahl ein Punktepaar P',
P[ beliebig angenommen, so können wir die Ebene e' so als Bildebene
einer Ebene e auffassen, daß sich e und e' in s schneiden, und daß dem

) Die Ebene e entspricht also der Ebene 7 und e 1 der Bildebene ß.

§17. Die Relief- und Theaterperspektive. 88

Punkt S in e ein unendlichferner Punkt S^ entspricht; man hat hierzu
das Perspektive Zentrum So, das die Beziehung von e und e' vermittelt,
nur so zu wählen, daß der Horizont von e' durch S geht. Wir haben
also den Satz:

III. Um für zwei vereinigte Ebenen e' und e[ eine Perspektive Lage
herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspektivi-
tät, sowie auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender
Punkte P' und P[ beliebig annehmen.

Gemäß § 4 gehen bei jeder Perspektiven Beziehung zweier Ebenen
e und e' Geraden, die der Achse s parallel sind, in Geraden über, die
ebenfalls zu s parallel sind. Betrachtet man daher die in e liegenden
zu s parallelen Geraden einerseits als Geraden von e und andererseits
als Geraden von e\ so sind die ihnen entsprechenden Geraden von e'
und e[ ebenfalls sämtlich zu s parallel; wir folgern also, daß allen zur
Achse parallelen Geraden von e' die zu s parallelen Geraden von e[
entsprechen.

Hieraus ziehen wir zwei Folgerungen. Erstens gibt es wieder in e'
eine zu s parallele Gerade h', die der unendlichfernen Geraden von e[
entspricht, und in e[ eine zu s parallele Gerade k[, die der unendlich-
fernen Geraden von e' entspricht. Wir wollen sie wieder als Fluchtlinien
bezeichnen, und zwar h! als Fluchtlinie von s' und k[ als Fluchtlinie von
e' 1 . Eine zweite Folgerung fließt aus der Überlegung, daß insbesondere
auch die beiden parallelen Geraden einander entsprechen müssen, die
durch P' und P[ gehen. Wir können daher den Satz III so abändern, daß
wir die Punkte P' und P[ durch irgend zwei einander entsprechende zu s
parallele Geraden von e' und e' x ersetzen. Ein solches Paar entsprechen-
der Geraden wird insbesondere durch die Fluchtlinie der einen Ebene
und die unendlichferne Gerade der anderen gebildet, und so erhalten
wir schließlich den Satz:

IV. Um für zwei vereinigte Ebenen e' und e\ die Perspektive Lage
herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspekti-
vität, sowie eine zu s parallele Gerade als Fluchtlinie der einen Ebene
beliebig wählen.

Das Vorstehende wollen wir nun sinngemäß auf den Raum übertra-
gen. Doch mag es genügen, die tatsächlichen Verhältnisse, soweit sie
hier in Frage kommen, darzustellen. Ihre volle Analogie mit den Sätzen
der Ebene mag für ihre Richtigkeit sprechen.

§17. Die Relief- und Theaterperspektive. 89

Wir denken uns zunächst den Raum doppelt, bezeichnen den einen
durch E, den anderen durch E 1; und wollen E und Ei in der Weise
einander zuordnen, daß an die Stelle des Punktes S und der Achse s
ein Punkt S und eine Ebene o von analoger Eigenschaft treten. Es soll
also jeder Punkt von a sich selbst entsprechen, und es sollen je zwei ent-
sprechende Punkte auf einem durch S gehenden Strahl liegen. Ist daher
e irgendeine Ebene von E, so müssen sich e und E\ in einer Geraden
von o schneiden, und ist g eine Gerade von E, so müssen sich auch die
Geraden g und g\ in einem Punkt von o treffen. Diese Beziehung von
E und Ei läßt sich auch hier so bewirken, daß wir (Fig. 97) den Punkt
S, die Ebene a sowie ein Paar entsprechender Punkte P und Pj auf
einem durch S gehenden Strahl p = Pi beliebig annehmen. Man kann
nämlich zu einem Punkt Q von E den entsprechenden Punkt Qi von
Ei ganz analog konstruieren, wie oben. Zieht man zunächst den Strahl
QS = q, so muß wegen q = q\ der Punkt Q\ auf ihm liegen. Wird ferner
durch Q und P die Gerade y gezogen, und ist G ihr Schnitt mit <x, so
ist G = Gi, also geht g\ durch G und Pi, ist also konstruktiv bestimmt
und enthält ebenfalls den Punkt Q\.

Es ist nur noch zu zeigen, daß sich die
beiden Geraden gi und gi, die den Punkt
Q 1 bestimmen sollen, wirklich schneiden.
Dies tun sie aber in der Tat, da alle hier
benutzten Geraden p, q, g und gi in ei-
ner und derselben Ebene liegen, und zwar
in derjenigen, die durch p und q bestimmt

ist- X ) Fig. 97.

Von den so aufeinander bezogenen
Räumen E und E x sagen wir wiederum, daß sie sich in perspektiver
oder kollinearer Lage befinden, und nennen S das Zentrum und o~ die
Ebene der Perspektivität oder Kollineation. Dann besteht der Satz:

V. Um zwei Räume E und E x perspektiv aufeinander zu beziehen,
kann man das Zentrum S und die Ebene o~ der Perspektivität, sowie
auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P
und P\ beliebig annehmen.

Wie oben, folgern wir auch hier, daß der Ebene n, die durch P geht
und parallel zu o liegt, eine durch P\ gehende zu a parallele Ebene

x ) Man sieht leicht, daß die beiden Strahlen p und q in £ und Ei ein Ebenenpaar
£ und £\ bestimmen, das sich selbst entspricht, und daßfür dieses Paar vereinigt
liegender Ebenen die Perspektive Lage gemäßSatz III vorhanden ist.

§17. Die Relief- und Theaterperspektive. 90

7Ti entspricht, daß ferner jeder zu a parallelen Ebene des einen Raumes
eine ebenfalls zu o parallele Ebene des anderen Raumes entspricht, und
daß man die Perspektive Beziehung auch in der Weise herstellen kann,
daß man irgendein Paar von Ebenen, die zu o parallel sind, in E und
Ei einander entsprechen läßt. Insbesondere entspricht auch wieder der
unendlichfernen Ebene 7)^ von E in Ei eine zu a parallele Fluchtebene
rji und der unendlichfernen Ebene von Ei eine zu a parallele Fluchtebe-
ne von E, und man kann die Perspektive Beziehung auch mittels eines
dieser Ebenenpaare festlegen (Fig. 98). Also folgt:

VI. Um zwei Räume E und Ei perspektiv aufein-
ander zu beziehen, kann man das Zentrum S und die
Ebene a der Perspektivität, sowie eine zu a parallele
Ebene als Fluchtlinie des einen Raumes beliebig aus-
wählen.

r° 7

/* 7

Fig. 98.

Dies sind die Tatsachen, die der geometrischen
Theorie der Relief Perspektive und der Theaterperspek-
tive zugrunde liegen.

Eine auf dem Vorstehenden beruhende Reliefdar-
stellung hat so zu geschehen, daß der darzustellende Körper R dem
Raum E angehört, während sein Bild R\ Teil des Raumes Ei ist. Sie
ist ferner so herzustellen, daß das perspektivische Zentrum S das Au-
ge des Beschauers vorstellt, und die Ebene, auf der sich das Relief R\
erhebt, die Fluchtebene rji des Raumes Ei ist. Dies bewirkt, daß das
Relief unendliche Tiefenausdehnung zu besitzen scheint; es ist ja das
Abbild eines sich bis zur unendlichfernen Ebene n^ von E erstrecken-
den Raumteils. Die Perspektivitätsebene a, die die Räume E und Ei
entsprechend gemeinsam haben, befindet sich zwischen dem Auge S
und der Ebene rji; das Relief R\ selbst ist ganz zwischen den Ebenen a
und rji enthalten. Je näher also das Relief R\ der Ebene o kommt, um
so geringer ist die Verzerrung, die seine obersten Teile erleiden. Aus un-
serem allgemeinen Satz folgt noch, daß S, a, rji beliebig wählbar sind,
daß aber mit ihnen die Abbildung bestimmt ist. x )

Es ist klar, daß eine so ausgeführte Relief dar Stellung nur auf ein in
S befindliches Auge einen guten bildmäßigen Eindruck machen würde.
Aus diesem Grunde stützt sich die Darstellung, die der Künstler schafft,
teilweise auf andere Grundlagen, und zwar wesentlich auf künstlerische

1 ) Die Fluchtebene von S, die also in £ der unendlichfernen Ebene von Ei ent-
spricht, heißt auch Verschwindungsebene. Beide Fluchtebenen werden auch Gegene-
benen genannt.

§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive. 91

Motive; sie ist weit mehr, als die malerische Darstellung, durch Rück-
sichten anderer Art bedingt. Immerhin wird die Kenntnis der oben
dargelegten geometrischen Gesetze dem Beschauer das Beschauen des
Reliefs erleichtern.

Ähnlich steht es mit den geometrischen Gesetzen, die für die Her-
stellung der Theaterkulissen die Grundlage bilden. Hier stellt der Vor-
hang die Ebene a dar, in der die wirkliche Welt und die Bühnenwelt
zusammenstoßen; S ist wieder das Auge des Zuschauers. Soll der Ein-
druck entstehen, daß sich die Bühnentiefe bis ins Unendliche erstreckt,
so muß ihr Hintergrund die Fluchtebene darstellen; so wird erreicht, daß
die Bühne als Bild des ganzen Raumes erscheinen kann, der sich vom
Vorhang aus ins Unendliche ausdehnt. Sollen die Bühnenkulissen nur
einen endlichen Teil dieses Raumes vorstellen, so hat man die Fluch-
tebene in geeigneter Entfernung hinter die Bühne zu verlegen, und die
einzelnen Kulissen so zu zeichnen, wie es diejenige Perspektive Darstel-
lung erfordert, die der angenommenen Lage des Auges S, dem Vorhang
als Ebene o und der gewählten Lage der Fluchtebene r\\ entspricht. Daß
es sich auch hier nur um gewisse allgemeine Grundlagen handeln kann,
und daß der bildliche Eindruck des Beschauers überdies von seiner Stel-
lung zur Bühne abhängt, ist klar. Immerhin darf man die Tatsache nicht
außer acht lassen, daßauf den Seiten- und Deckenkulissen die Bilder al-
ler parallelen Geraden nach der Fluchtebene konvergieren müssen. Für
ihre richtige Zeichnung ist die angenommene Lage der Fluchtebene hier
ebenso entscheidend, wie bei der ebenen malerischen Darstellung.

Anhang.

1. S. 1. Das Auge enthält mehrere brechende Flächen. Die es durch-
dringenden Strahlen unterliegen daher den allgemeinen Gesetzen, die
Gauß über solche Systeme abgeleitet hat. l ) Dies bewirkt, daßes nicht
einen, sondern zwei Knotenpunkte K\ und K% gibt, durch die alle von P
ausgehenden Strahlen hindurch gehen; der geradlinige Strahl PKP n ist
daher genauer durch einen gebrochenen Linienzug PK\K.2P n zu erset-
zen, und zwar sind PK\ und i^2-Pn 'parallele Geraden, während K1K2
mit ihnen einen Winkel bildet. Es ist K1K2 = 0,416 .. mm.

Die Lage des Knotenpunktes hängt außerdem von der Entfernung
des Punktes P vom Auge ab; das Auge oder vielmehr die Lage der
lichtbrechenden Medien akkommodiert sich nämlich stets so, daß gerade
die von diesem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen sich auf der Netzhaut
vereinigen.

2. S. 2. Hier kommen insbesondere folgende Tatsachen in Betracht.

1. Die Wahrnehmung der räumlichen Objekte kommt durch die Ge-
sichtseindrücke zweier Augen zustande; bekanntlich ist die richtige
Beurteilung der Entfernung der Objekte zu einem erheblichen Teil
durch das binokulare Sehen bedingt. 2 ) Dagegen wird das Bild nur
mit Rücksicht auf ein einziges Auge hergestellt.

2. Da die Herstellung des Bildes so erfolgt, daß wir die sämtlichen
Sehstrahlen mit der Bildebene zum Schnitt bringen, so wird da-
mit von selbst eine bestimmte Stellung des Auges und des Gegen-
standes zur Bildebene vorausgesetzt. Das Auge vermag aber die
Treue des Bildes auch dann noch zu erkennen, wenn es seine Stel-
lung zur Bildebene ändert; freilich wird sich diese Änderung in
gewissen Schranken halten müssen, damit der gute Eindruck er-
halten bleibt. 3 ) Durch diesen Umstand wird die Zweckmäßigkeit
der zeichnerischen Annahmen bedingt, die für die gegenseitige Stel-
lung des Auges und des Körpers E zur Bildebene maßgebend sind
(vgl- § 3).

r ) Vgl. Gesammelte Werke, Bd. 5. S. 245 ff.

2 ) Die räumliche Wirkung des Stereoskops beruht bekanntlich darauf, daß es zwei
Bilder benutzt; eines, das für das linke, und eines, das für das rechte Auge hergestellt
ist.

3 ) Man erkennt dies z. B., wenn man in Fig. 39 (S. 42) das Auge von links nach
rechts über die Figur wandern läßt. Dabei ändern sich die scheinbaren Dimensionen
des Sockels erheblich. Ebenso ist es mit dem Bild des Kastens in Fig. 33 (S. 36).

Anhang. 93

3. Das Akkommodationsvermögen des Auges muß auch deshalb hel-
fend eintreten, weil die Knotenpunkte der Sehstrahlen, die einer-
seits vom Körper £ und andererseits vom Bild £' ins Auge gelan-
gen, gemäß der vorstehenden Anmerkung tatsächlich verschieden
voneinander sind. Die Lage des Knotenpunkts hängt nämlich von
der Entfernung des betrachteten Gegenstandes vom Auge ab; Bild
und Gegenstand haben aber verschiedenen Abstand vom Auge.

3. S. 5. Das Auge ist stets geneigt, Geraden, die im Bilde einen
Schnittpunkt haben, einen solchen auch in der Wirklichkeit beizulegen.
Die vorn genannte Zeichnungsart soll daher vor der Entstehung unrich-
tiger Vorstellungen bewahren; sie erreicht dies besonders dadurch, daß
sie den Sachverhalt im Bilde etwas übertreibt und dadurch die Auf-
merksamkeit steigert. x )

4. S. 14. Da der Desarguessche Satz in neuerer Zeit durch Huberts
Untersuchungen (Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 2. Aufl., 1903)
eine erhöhte Wichtigkeit erlangt hat, mögen hier einige Ausführungen
über ihn folgen.

Er folgt unmittelbar aus den grundlegenden Tatsachen des Schnei-
dens und Verbindens für Punkte, Gerade und Ebene (a. a. O. S. 2ff).
Ferner steht er sich selbst dualistisch gegenüber; man beweist daher
ganz analog, daß Dreiecke, deren Seiten die in ihm genannte Eigen-
schaft besitzen, so liegen, daß die Verbindungslinien ihrer Ecken durch
einen Punkt gehen. Von den beiden Eigenschaften, daß die Ecken auf
drei Strahlen durch einen Punkt liegen, und daß die Seiten sich in drei
Punkten einer Geraden schneiden, zieht also die eine die andere nach
sich.

Da die Figur, die man zum Desarguesschen Satz zeichnet, eine ebe-
ne Figur ist, so gilt dies alles auch für die in dieser Figur enthaltenen
derselben Ebene angehörigen Dreiecke. Ob es aber auch für je zwei ana-
loge Dreiecke einer Ebene gilt, bedarf der Untersuchung. Den Beweis
kann man zunächst unmittelbar dem Grundsatz der Axonometrie in
§ 14 entnehmen, wie aus dem dort durchgeführten Beispiel 4 hervor-
geht. Man kann ihn aber auch mittels seiner Schnittpunktsätze ablei-
ten; indem man im Raum eine Desarguessche Figur konstruiert, deren
Projektionen die ebenen Dreiecke sind. Einen Beweis findet man z. B.
bei F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie, Leipzig, 1903,
8 10.

In den Figuren dieser Schrift ist dies manchmal in zu starkem Maße geschehen.

Anhang. 94

Endlich hat Hubert gezeigt, daß der Desarguessche Satz für eine ebe-
ne Geometrie, in der die grundlegenden Sätze des Schneidens und Ver-
bindens gelten, nicht erfüllt zu sein braucht, wenn man nur in der Ebe-
ne operiert; also von allen räumlichen Konstruktionen absieht (a. a. O.
S. 49).

5. S. 20. Der Umstand, daß man der Ebene e' noch eine beliebige
Neigung gegen e geben darf, beruht darauf, daß zwei parallelperspektiv
bezogene Ebenen in dieser Beziehung verbleiben, wenn man sie um die
Perspektivitätsachse dreht; nur die Richtung der projizierenden Strah-
len erfährt dabei eine Änderung. Einen Beweis enthalten die Ausfüh-
rungen von § 17.

6. S. 22. Die Sätze, die hier in Frage kommen, sind die des Schnei-
dens und Verbindens (vgl. Hubert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig,
2. Aufl., 1903, S. 2). Allerdings müßten auch die Sätze der Anordnung
(a. a. O. S. 4) in ähnlicher Weise berücksichtigt werden; doch sind diese
Begriffe vorher so zu formulieren, daß sie sich auf geschlossene Kurven,
wie z. B. den Kreis beziehen. Gemäß § 7 bildet ja die Gerade eine
geschlossene Kurve.

7. S. 23. Die Vervollkommnung unserer geometrischen Raumauffas-
sung, die durch die konsequente Einführung der uneigentlichen, unend-
lichfernen Elemente bewirkt wird, verdanken wir wesentlich J. V. Pon-
celet, den wir überhaupt als den eigentlichen Begründer der projektiven
Denkweise zu betrachten haben. Sie ist in seinem Traite des proprietes
projectives des figures, Paris 1822 (2. Aufl., 1865) enthalten; vgl. beson-
ders § 49 ff. Die Notwendigkeit, für die so eingeführten Elemente das
Bestehen der grundlegenden Schnittpunktsätze zu erweisen, erkannte
wohl zuerst G. K. Gh. v. St au dt; vgl. seine Geometrie der Lage, Nürn-
berg 1847, p. 23. Den Ausdruck Permanenz der Grundgesetze entnehme
ich H. Hankel, der ihn auf arithmetischem Gebiet (Permanenz der for-
malen Gesetze) zu dem gleichen Zweck und mit der gleichen Bedeutung
einführte. Vgl. Theorie der komplexen Zahlsysteme, Leipzig 1867, p. 10.

8. S. 43. Bei Bildern, die man frei nach der Natur entwirft, pflegt
man so zu verfahren, daß man die Fluchtpunkte der einzelnen Geraden
oder Richtungen durch wirkliches Visieren ermittelt. Man stellt dazu
das Auge auf den unendlichfernen Punkt der Geraden ein und fixiert
zugleich den Durchdringungspunkt der Sehrichtung mit der Bildebene.

9. S. 60. Die Gleichwertigkeit dieser Methode mit der von § 12 be-
ruht auf der Relativität aller Bewegung. Die Drehung des Dodekaeders
gegen die Aufrißebene kann man so mitmachen, daß man sich in die
Aufrißebene oder auch in das Dodekaeder hineinbegibt. Dem ersten Fall

Anhang. 95

entspricht eine Drehung des Dodekaeders gegen die als fest erscheinen-
de Aufrißebene, dem zweiten die Einführung einer neuen Aufrißebene
bei fest bleibendem Dodekaeder.

10. S. 70. Das Kubooktaeder gehört, wie auch das Rhombendodeka-
eder zu der großen Klasse der sogenannten Kristallformen. Alle Kristall-
formen pflegt man axonometrisch zu zeichnen. Vielfach sind sie nur so
bestimmt, daß man für jede ihrer Flächen ihre »Indizes« kennt, das sind
die reziproken Werte der von ihnen auf den axonometrischen Achsen
abgeschnittenen Stücke (ihre Ebenenkoordinaten im Sinne der analyti-
schen Geometrie). Aus ihnen sind die Kristallformen zu zeichnen, und
zwar so, daß man jede Kante als Schnittlinie der beiden Ebenen kon-
struiert, die durch sie hindurchgehen.

Das allgemeine Prinzip, nach dem man dies auszuführen hat, ist
das folgende. Wir wollen die drei Geraden, die axonometrisch die drei
Grundrichtungen darstellen, als x-, y-, z- Achse bezeichnen. Sind dann
£ und e' zwei Ebenen, die eine Kante k bestimmen, so sind mit den
Indizes dieser Ebenen zugleich ihre Schnittpunkte mit den drei Grund-
richtungen und damit auch ihre Spuren in den drei Grundebenen gege-
ben. Sind E x , E y , E z und E' x , E' E' z die Schnittpunkte, so schneiden
sich die Spuren E y E z und E ' E' z in einem in der yz-Ebene enthaltenen
Punkt der Kante k, und ebenso liefern E X E Z , und E' X E' Z sowie E x E y
und E'E' je einen Punkt von k. Damit ist auch k selbst bestimmt.

Naturgemäß handelt es sich bei diesen Konstruktionen immer um
die geeignete Auswahl derjenigen Kanten, die man zuerst zeichnet und
mit denen man die übrigen der Reihe nach bestimmt. Es empfiehlt sich,
das Rhombendodekaeder auch aus den Spuren seiner Flächen herzustel-
len.

11. S. 80. Die Geometrie, die durch stereographische Projektion in der
Ebene entsteht, ist genau genommen eine Geometrie, in der die Punkte
und Kreise die Elementargebilde darstellen (Kreisgeometrie). Analog ist
ja auch die Kugelfläche Träger einer derartigen Geometrie. Die Geraden
der Ebene kommen daher nur als Grenzfälle von Kreisen in Betracht.

12. S. 84. Die stereographische Projektion wird besonders benutzt, um
die Eigenschaften der Kugelteilung und die an sie anschließenden Satze
der Funktionentheorie zu illustrieren. Auch für die Zwecke der Kristal-
lographie wird sie aus diesem Grunde vielfach verwendet.

Von A. Schoenflies erschien ferner im gleichen Verlage:

Die Entwicklung der Lehre von den
Punktmannigfaltigkeiten.

Bericht, erstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.

In zwei Teilen, gr. 8. Geh.

Teil I: [V u. 251 S.[ 1900. n. M. 8.—

Teil II: Mit 26 Figuren. [X u. 431 S.[ 1908. n. M. 12 —

Die Mengenlehre hat sich längst als ein unentbehrliches Hilfsmittel fast der gesamten
höheren Mathematik erwiesen; Analysis und Geometrie haben ihren befruchtenden Ein-
fluß in gleicher Weise erfahren. Sie hat unsere Anschauung geklärt, unser mathematisches
Denken vertieft und überall außerordentliche Resultate gezeitigt.

Von dieser Erkenntnis aus hat die Deutsche Mathematiker- Vereinigung vor einer Reihe
von Jahren den Verfasser aufgefordert, den damals noch zerstreuten Stoff zu sammeln
und einheitlich zu verarbeiten. Dies ist durch den obigen Bericht in ausführlicher und
eingehender Weise geschehen: Wenn auch knapp gehalten, soll er den Suchenden in lesbarer
Weise über Probleme und Resultate orientieren. An verschiedenen Stellen hat der Verfasser
die Behandlung der Probleme selbständig weiterzuführen versucht.

Der erste Teil, der 1900 erschien, enthält die allgemeinen Sätze der Mengenlehre, die
Theorie der Punktmengen und ihre Anwendung auf die Analysis der reellen Funktionen.
Der zweite, 1908 erschienene, enthält, von einigen Zusätzen zum ersten Teil abgesehen,
wesentlich die Anwendungen auf die Geometrie. Die mengentheoretische Klärung der geo-
metrischen Grundbegriffe ist nur sehr allmählich erfolgt; erst jetzt war sie so weit fortge-
schritten, daß wenigstens ein Teil einer zusammenhängenden Darstellung fähig wurde. Es
ist derjenige, der im Mittelpunkt der Analysis Situs steht und zugleich die Hilfsmittel für
den Aufbau der Riemannschen Funktionentheorie bildet; in ihm kommen wesentlich die ge-
staltlich invarianten Eigenschaften der geometrischen Gebilde zum Ausdruck, insbesondere
diejenigen, die den Kurvenbegriff und die Kurvenmengen betreffen.

Wenn der Bericht auch auf absolute Vollständigkeit keinen Anspruch machen kann,
ist ihm doch ein abgerundeter, umfassender Inhalt gegeben worden.

Geometrie der Bewegung in synthetischer

Darstellung.

Mit Figuren im Text. [VI u. 195 S.] gr. 8. 1886. Geh. n.M. 4.—

Das Buch gibt die Geometrie der Bewegung auf rein geometrischer Basis, ohne Sätze
über Geschwindigkeit und Beschleunigung der bewegten Punkte zu benutzen, indem die
Gestalt der durch Bewegung entstehenden Raumgebilde, mit deren Eigenschaften sich die
Geometrie der Bewegung beschäftigt, einzig und allein von dem Gesetz abhängt, nach
welchem die Bewegung vor sich geht, d. h. von den verschiedenen Lagen, welche der be-
wegliche Körper der Reihe nach im Räume einnimmt, und nicht von der größeren oder
geringeren Geschwindigkeit, mit der die Bewegung vor sich geht. Dabei erscheint die Geo-
metrie der Bewegung als ein spezieller Zweig der synthetischen Geometrie, indem in der
Tat die projektive Beziehung der Lagen, in welche der bewegliche Körper der Reihe nach
gelangt, eine einfache Ableitung der darzustellenden Lehren gestattet.

Kristallsysteme und Kristallstruktur.

Mit 73 Figuren im Text. [XII u. 639 S.[ gr. 8. 1891. Geh. n. M. 12 —

Der erste Teil der Schrift gibt eine konsequente und möglichst einfache Ableitung der
32 durch ihre Symmetrie voneinander verschiedenen im ganzen möglichen Kristallsyste-
me. Die Hilfsmittel der Darstellung sind hierbei durchaus elementar, zu ihnen gehört vor
allem der Gruppenbegriff, der, wenn auch erst jüngeren Datums, doch zu den einfachsten
Grundbegriffen der Mathematik zählt.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Der zweite Teil enthält eine ausführliche Erörterung der Theorien der Kristallstruktur
auf Grund der Hypothese, daß die Struktur der Kristalle ihren Ausdruck in der regelmä-
ßigen Anordnung der Kristallmolekeln findet. Es ergibt sich, daß geometrisch noch zwei
Theorien im Rahmen dieser Hypothese möglich sind, die sich an die Namen Bravais bzw.
Wiener und Sohncke knüpfen.

Beyel, Dr. Chr.: Privatdozent an dem eidgenössischen Poly-
technikum zu Zürich, darstellende Geometrie. Mit einer Samm-
lung von 1800 Dispositionen zu Aufgaben aus der darstellenden
Geometrie. Mit 1 Tafel. [XII u. 189 S.] gr. 8. 1901. In Leinwand
geb. n. M. 3.60.

Burmester, Dr. L.: Professor an der Kgl. Technischen Hoch-
schule zu München,

• Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmäßig ge-
stalteter Flächen, mit besonderer Rücksicht auf die Be-
dürfnisse technischer Hochschulen. 2. Ausgabe. Mit einem
Atlas von 14 lithogr. Tafeln (in qu. Fol. in Mappe). [XVI
u. 386 S.] gr. 8. 1875. Geh. n. M. 8.-

• Grundzüge der Reliefperspektive nebst Anwendung zur
Herstellung reliefperspektivischer Modelle. Als Ergänzung
zum Perspektiv-Unterricht an Kunstakademien, Kunstge-
werbeschulen und technischen Lehranstalten bearbeitet.
Mit 3 lithograph. und 1 Lichtdrucktafel. [IV u. 30 S.]

gr. 8. 1883. Geh. n. M. 2-
v. Dalwigk, Prof. Dr. F.: Privatdozent an der Universität
Marburg a. L., Vorlesungen über darstellende Geometrie. 2
Bände. Mit zahlreichen Figuren im Text und mit Tafeln, gr. 8.
1908. In Leinw. geb.

[Band I erscheint im Oktober 1908.]
Der erste Band behandelt die Parallelprojektion. Den größten Umfang
nimmt die Orthogonalprojektion mit Grund und Aufriß ein, dann folgen die
schiefe Parallelperspektive und ein kurzer Aufriß der Axonometrie. Kotierte
Projektion und Beleuchtangslehre sind neben einigen anderen kleinen Kapiteln
in den Anhang verwiesen.

Der zweite Band bringt die wesentlichen Methoden der malerischen Per-
spektive, dann (kürzer) die freie Perspektive und die ebene Zentralkollineation
mit Anwendungen auf die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Den Schluß bil-
den die Grundzüge der Reliefperspektive und der Photogrammetrie. — Über die
Vorlesungen des Verfassers und damit auch über den Inhalt und die Anord-
nung des Buches finden sich nähere Angaben im Jahresbericht der deutschen
Mathematiker- Vereinigung, 1906 S. 349 ff., besonders 354-57. Übrigens bildet
das Buch nur einen Teil von »geometrischen Vorlesungen aus der reinen und an-
gewandten Mathematik«, von denen zunächst zwei weitere Bande rasch folgen
sollen.

Fiedler, Dr. W.: vorm. Professor am eidgenössischen Poly-
technikum zu Zürich, die darstellende Geometrie in organi-
scher Verbindung mit der Geometrie der Lage. Für Vorlesun-
gen und zum Selbststudium. 3 Teile, gr. 8. Geh. n. A4. 40.30,
geb. n. M. 43.80.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

I. Teil: Die Methoden der darstellenden Geometrie und die Elemente der
projektivischen Geometrie. 4. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text
und auf 2 lithogr. Tafeln. [XXIV u. 431 S.[ 1904. Geh. n. M. 10.—, in
Leinwand geb. n. M.. 11. —

II. Teil: Die darstellende Geometrie der krummen Linien und Flächen. 3.
Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text und 16 lithogr. Tafeln, [XXXIII
u. 560 S.[ 1885. Geh. n. M. 14.—, in Leinwand geb. n. M. 15.40.

III. Teil: Die konstruierende und analytische Geometrie der Lage. 3. Auf-
lage. Mit zahlreichen Figuren im Text und 1 lithogr. Tafel. [XXX u. 660
S.[ 1888. Geh. n. M. 16.—, in Leinwand geb. n. M. 17.40.

Hempel, J.: Lehrer an der staatlichen Baugewerkschule zu
Hamburg, Schattenkonstruktionen. Für den Gebrauch an
Baugewerkschulen und ähnlichen Lehranstalten sowie zum
Selbstunterricht. Mit 51 Textfiguren und 20 Tafeln praktischer
Beispiele in Lichtdruck. [IV u. 60 S.] quer Folio. 1906. In
Leinw. geb. n. Ai. 5.—

Von der Voraussetzung ausgehend, daß ganz allein ein klares sicheres Er-
fassen des Raumvorgangs den praktischen Zeichner zum schnellen und bewußt
sicheren Konstruieren befähigen kann, nicht etwa auswendig gelernte Gesetze
oder Beweise noch auch mechanisch eingeprägte Lösungen, gibt der Verf. in dem
Werkchen nach einem einleitenden Text mit 61 Fig. zu, 20 Tafeln mit zahlrei-
chen praktischen, dem Baugewerbe entnommenen Übungsbeispielen kurze Er-
läuterungen der angewandten Lösungsverfahren unter möglichster Vermeidung
verwirrender Ziffern und Buchstabenbezeichnungen. — Den parallelprojektiven
Schattenkonstruktionen ist, den Forderungen der Praxis Folge leistend, noch
eine kleinere Gruppe perspektivischer Schattenkonstruktionen, die zugleich das
Wichtigste über Linearperspektive enthält, angefügt.

Holzmüller, Prof. Dr. G.: vorm. Direktor der Provinzialge-
werbeschule zu Hagen i. W., Einführung in das stereometrische
Zeichnen, Mit Berücksichtigung der Kristallographie und Kar-
tographie. Mit 16 lith. Tafeln. [VI u. 102 S.] 1886. gr. 8.
Kart. n. M. 4.40.

Loria, Dr. G.: Professor an der Universität Genua, Vorlesun-
gen über darstellende Geometrie. Autorisierte, nach dem ita-
lienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von Fr.
Schütte, Oberlehrer am Gymnasium zu Düren. In 2 Teilen.

I. Teil: Die Darstellungsmethoden. Mit 163 Figuren im Texte. [XI u. 219
S.[ gr. 8 1907. In Leinwand geb. n. M. 6.80.
Das vorstehende Werk über darstellende Geometrie, aus mehrjährigen Vor-
lesungen des Verfassers hervorgegangen, setzt nur elementare Kenntnisse der
projektiven und analytischen Geometrie voraus. Der zunächst vorliegende erste
Band behandelt die Darstellungsmethoden. Er beginnt mit einem kurzen Abriß
der Geometrie des Zirkels und der Geometrographie und geht dann in den drei
ersten Büchern zur Darlegung der Methoden der Orthogonalprojektion, Zen-
tralprojektion und kotierten Ebenen über. Jede dieser Darstellungsmethoden
wird in umfangreicher Weise zur Lösung der wichtigsten Aufgaben über Punk-
te, Geraden und Ebenen herangezogen. Das 4. Buch behandelt die Axonometrie,
das 5., zum erstenmal in einem elementaren Lehrbuche, die Photogrammetrie.

Müller, Dr. C. H.: Professor am Kgl. Kaiser-Friedrichs-
Gymnasium zu Frankfurt a. M., und O. Presler, Professor
an der Städtischen Oberrealschule zu Hannover, Leitfaden der

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Projektionslehre. Ein Übungsbuch der konstruierenden Stereo-
metrie.

Ausgabe A.: Vorzugsweise für Realgymnasien und Oberrealschulen. Mit
233 Figuren im Text. [VIII u. 320 S.] gr. 8. 1903. geb. n. M. 4.—

Ausgabe B.: Für Gymnasien und sechsstufige Realanstalten. Mit 122 Fi-
guren im Text [VI u. 138 S.[ gr. 8. 1903. geb. n. M. 2.—

Müller, Dr. E.: Professor an der k.k. Technischen Hochschule
zu Wien, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für technische
Hochschulen. In 2 Bänden.

I. Band.: Mit 273 Figuren und 3 Tafeln. [XIV u. 368 S.[ gr. 8. 1908 In
Leinwand geb. n. A4. 12. —
Der vorliegende erste Band behandelt auf Grund der Darstellung durch
zugeordnete Normalrisse (Orthogonalprojektion auf zwei zueinander senkrech-
te Ebenen) die Elementaraufgaben und die Kurven und Flächen (abwickelbare
Flächen, Kugelfläche, Dreh- und Schraubenfiächen, windschiefe und »graphi-
sche« Flächen), während die kotierte Projektion, Dachausmittlung Axonome-
trie, schiefe Projektion und Perspektive den Inhalt des zweiten Bandes bilden
werden, Die Anpassung an das praktische technische Zeichnen zeigt sich in dem
vorliegenden Bande, unter anderem darin, daß das Konstruieren mit Hilfe von
Auf- und Kreuzriß stets mitberücksichtigt, die Verwendung der Projektionsach-
sen und damit der Spurelemente von Geraden und Ebenen vermieden wird, daß
ferner bei zahlreichen Konstruktionen möglichst mit einem Rißgearbeitet oder,
besser gesagt, die verwendeten anderen Risse in jenen hineingelegt werden. Das
Konstruieren der Schatten an technischen Gegenständen liefert, neben deren
axonometrischer Darstellung, wohl den besten Übungsstoff zur Ausbildung in
der räumlichen Vorstellung in der beabsichtigten Richtung. Hauptsächlich aus
diesem Grunde, neben ihrer praktischen Anwendung, erfahren die Schattenkon-
struktionen eine eingehendere Behandlung als sonst in Lehrbüchern ähnlichen
Umfangs.

Obgleich das Buch mit den Elementen beginnt, so wird doch eine voran-
gegangene Beschäftigung mit dem Gegenstand, also eine gewisse Denk- und
Konstruktionsfertigkeit, vorausgesetzt. Der Verfasser war bestrebt, soweit es
die mathematische Vorbildung des angehenden Technikers zulaßt, allgemeine
Methoden zu verwenden und höhere Gesichtspunkte zu gewinnen.

Richter, Dr. O.: , Oberlehrer am König- Albert- Gymnasium zu
Leipzig, Kreis und Engel in senkrechter Projektion. Für den
Unterricht und zum Selbststudium. Mit 147 Figuren im Text.
[X u. 188 S.] gr. 8. 1908. Geh. n. M. 4.40, in Leinwand geb. n.
M. 4.80.

Angesichts des oft und seit langem beklagten Übelstandes, daß die für
die Schulung des Baumanschauungsvermögens so wichtige Darstellung der Ku-
gel und ihrer Kreise nicht nur im stereometrischen Unterrichte hintangesetzt,
sondern sogar in der darstellenden Geometrie wenig gepflegt und selbst sche-
matisiert wird, hat der Verfasser den Versuch gemacht, eine Anzahl der in der
Raumlehre häufig auftretenden Körper in allgemeiner Lage gezeichnet darzu-
bieten und die genaue Bildherstellung zu begründen und unter Hinweis auf die
obwaltenden mathematischen Beziehungen und bei möglichster Beschränkung
auf eine einzige Bildtafel, um die Verwendung der Konstruktionen im Unter-
richte zu erleichtern. Dabei sind außer der Kugel nicht nur Zylinder und Kegel,
sondern auch andere aus Kugel, Zylinder und Kegel ableitbare Raumgebilde
berücksichtigt worden, z. B. Prismen und Pyramiden, Platonische und Archi-
medische Körper nebst einigen Durchdringungen. Die rechtwinklige Axonome-
trie, von der Kugel abgeleitet, die Haupt- und Nebenkreise der Kugel nebst
ihren Polen werden ausführlich betrachtet, die nichteuklidische Geometrie auf
der Kugel wenigstens gestreift. Eine vollständige Begründung der hauptsäch-
lich benutzten Ellipseneigenschaften leitet das Buch ein, Anwendung auf die
Rotationskörper, auf die Schraubenlinien von Zylinder, Kegel, Kugel, sowie auf

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

die Erd- und Himmelskunde beschließen es. Vorausgesetzt wird die Kenntnis
der elementaren Planimetrie und Stereometrie, einschließlich der harmonischen
Eigenschaften des Kreises, an einigen Stellen auch der Trigonometrie und der
Algebra.

Schilling, Dr. Fr.: Professor an der Technischen Hochschule zu
Danzig, über die Anwendungen der darstellenden Geometrie,
insbesondere über die Photogrammetrie. Mit einem Anhang:
Welche Vorteile gewährt die Benutzung des Projektionsappa-
rates im mathematischen Unterricht? Vorträge, gehalten bei
Gelegenheit des Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik
und Physik, Göttingen, Ostern 1904. Mit 151 Figuren und 5
Doppeltafeln. [VI u. 198 S.] gr. 8. 1904. Geh. n. M. 4.60, in
Leinwand geb. n. A4. 5.—

Schüßler, Dr. B.: Professor an der Technischen Hochschule zu
Graz, orthogonale Axonometrie. Ein Lehrbuch zum Selbststu-
dium. Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. [VIII u. 170
S.] gr. 8. 1905. In Leinwand geb. n. M.. 7 '.—

Schütte, Fr.: Oberlehrer am Gymnasium zu Düren, Anfangs-
gründe der darstellenden Geometrie für Gymnasien. Mit 54
Textfiguren. [42 S.] gr. 8. 1905. Steif geh. n. M. -.80.

Sturm, Geheimer Regierungsrat Dr. R.: Professor an der
Universität Breslau, Elemente der darstellenden Geometrie.
2. umgearbeitete und erweiterte Auflage. Mit 61 Figuren im
Text und 7 lithogr. Tafeln. [V u. 157 S.] gr. 8. 1900. In Leinw.
geb. n. A4. 5.60.

Weiler, Dr. A.: Professor an der Universität Zürich, neue Be-
handlung der Parallelprojektionen und der Axonometrie. Mit
109 Figuren im Text. 2. wohlfeile Ausgabe. [VIII u. 210 S.]
gr. 8. 1896. Geh. n. M. 2.80.

Wiener, Geheimer Hofrat Dr. Chr.: weil. Professor an der
Großherzogl. Polytechnischen Schule zu Karlsruhe, Lehrbuch
der darstellenden Geometrie. In 2 Bänden, gr. 8. Geh. n. A4.
30.—

I. Band: Geschichte der darstellenden Geometrie, ebenflächige Gebilde,
krumme Linien (I. Teil), projektive Geometrie. Mit Figuren im Text.
[XX u. 477 S.] (1884.) Unveränderter anastatischer Abdruck 1906 mit
hinzugefügtem Register n. M. 12. —

II. Band: Krumme Linien (IL Teil) und krumme Flächen Beleuchtungs-
lehre, Perspektive. Mit Figuren im Text. [XXX u. 649 S.[ 1887. n. M.
18.—

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Encyklopädie der Mathematischen
Wissenschaften

mit Einschluß ihrer Anwendungen.

Herausgegeben im Auftrage der

Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien,

sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen

In 7 Bänden zu je 6-8 Heften, gr. 8. Geheftet und in Halbfrz. geb.

I Arithmetik und Algebra, 2 Teile, redigiert von W.

Fr. Meyer.
II Analysis, 2 Teile, redigiert von H. Burkhardt und W.
Wirtinger.

III Geometrie, 3 Teile, redigiert von W. Fr. Meyer.

IV Mechanik, 4 Teilbände, redigiert von F. Klein und C.
H. Müller.

V Physik, 3 Teile, redigiert von A. Sommerfeld.
VI 1. Geodäsie und Geophysik, 2 Teilbände redigiert
von Ph. Furtwängler und B. Wiechert
2. Astronomie, red. von K. Schwarzschild.
VII Geschichte, Philosophie, Didaktik. (In Vorberei-
tung)

Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter Form,
aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen Wissen-
schaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben und zu-
gleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der mathemati-
schen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie beschränkt sich
dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt auch ausgiebig
die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie, die verschiedenen
Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß sie einerseits den
Mathematiker darüber orientiert, welche Fragen die Anwendungen an ihn stellen, ande-
rerseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber, welche Antwort die Mathematik
auf diese Fragen gibt. In sieben Banden zu je etwa 640 Druckseiten sollen die einzelnen
Gebiete in einer Reihe sachlich geordneter Artikel behandelt werden; der letzte Band soll
ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf die Ausführung von Beweisen der
mitgeteilten Satze muß natürlich verzichtet werden.

Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sind so gehalten, daß das Werk auch
demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht.

Encyclopedie des sciences mathematiques

pures et appliquees.

Publice sous les auspices des Academies des sciences
de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne

avec la collaboration de nombreux savants.

Edition francaise,

redigee et publiee d'apres l'edition allemande sous la direction de Jules Molk,

professeur ä l'universite de Nancy.

En sept tomes, gr. 8. Geheftet.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Durch die günstige Aufnahme veranlaßt, welche die deutsche Ausgabe dieses monu-
mentalen Werkes in Fachkreisen gefunden hat, und auf vielfache Anregungen hat sich die
Verlagsbuchhandlung entschlossen, die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften
in Gemeinschaft mit der Firma Gauthier-Villiars in Paris auch in französischer Sprache
erscheinen zu lassen. Das Werk wird, wie schon die ersten Lieferungen zeigen, seitens der
deutschen Bearbeiter viele Änderungen und Zusätze erfahren, und auch die französischen
Mitarbeiter, sämtlich Autoritäten auf ihren Gebieten, haben eine gründliche Umarbei-
tung vorgenommen. Zum ersten Male dürfte somit wohl hier der Fall eingetreten sein, daß
sich bei einem so großen Werke die ersten deutschen und französischen Fachgelehrten zu
gemeinsamer Arbeit verbunden haben.

Repertorium der höheren Mathematik (Difmi-

tionen, Formeln, Theoreme, Literaturnachweise) von Ernst Pascal,
ord. Professor an der Universität Pavia. Deutsche Ausgabe von weil.
A. Schepp in Wiesbaden. 2. neubearb. Aufl. In zwei Teilen: Analy-
sis und Geometrie, gr. 8. I. Teil: Die Analysis. Herausgegeben von
P. Epstein, [ca. 700 S.] 1909. In Leinwand geb. ca. n. M. 12.— (Er-
scheint im Januar 1909.) IL Teil: Die Geometrie. Herausgegeben von
H. E. Timerding, [ca. 800 S.] 1909. In Leinwand geb. ca. n. M. 14 —
[Erscheint Ostern 1909.]

Der Zweck des Buches ist, auf einem möglichst kleinen Raum die wichtigsten Theorien
der neueren Mathematik zu vereinigen, von jeder Theorie nur so viel zu bringen, daß
der Leser imstande ist, sich in ihr zu orientieren, und auf die Bücher zu verweisen, in
welchen er Ausführlicheres finden kann. Für den Studierenden der Mathematik soll es ein
»Vademekum« sein, in dem er, kurz zusammengefaßt, alle mathematischen Begriffe und
Resultate findet, die er während seiner Studien sich angeeignet hat oder noch aneignen will.
Die Anordnung der verschiedenen Teile ist bei jeder Theorie fast immer dieselbe: zuerst
werden die Definitionen und Grundbegriffe der Theorie gegeben, alsdann die Theoreme
und Formeln (ohne Beweis) aufgestellt, welche die Verbindung zwischen den durch die
vorhergehenden Definitionen eingeführten Dingen oder Größen bilden, und schließlich ein
kurzer Hinweis auf die Literatur über die betreffende Theorie gebracht.

Vocabulaire Mathematique, frangais-allemand et
allemand-frangais. Mathematisches Vokabularium, französisch-deutsch
und deutsch-französisch. Enthaltend die Kunstausdrücke aus der reinen
und angewandten Mathematik. Von Professor Dr. Felix Müller. [XV
u. 316 S.] Lex.-8. 1900/1901. In Leinw. geb. n. M. 20.— Wurde in 2
Lieferungen ausgegeben: I. Lieferung. [IX u. 132 S.] 1900. geb. n. A4.
8.— IL Lieferung. [S. IX-XV u. 133-316.] 1901. geb. n. M. 11-

Das Vokabularium enthält in alphabetischer Folge mehr als 12000 Kunstausdrücke aus
der reinen und angewandten Mathematik in französischer und deutscher Sprache und soll
in erster Linie eine Ergänzung der gebräuchlichen Wörterbücher für die beiden genannten
Sprachen sein. Da das Vokabularium zugleich als Vorarbeit zu einem Mathematischen Wör-
terbuche dienen soll, so sind auch zahlreiche Nominalbenennungen aufgenommen, deren
Anführung aus rein sprachlichem Interesse überflüssig erscheinen dürfte. Z. B. Gaußsche
Abbildung (einer Fläche auf eine Kugel] (Gauß 1887) [inf. Geom.] representation de Gauss;
Clairauts Satz (über die geodätischen Linien auf Umdrehungsfiächen) (Clairaut 1793) [inf.
Geom.] theoreme de Clairaut. Aus den beigefügten Zusätzen ist zu ersehen, daß das Vo-
kabularium mehr bietet, als der Titel erwarten laut.

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Vorlesungen über Geschichte der Mathema-
tik, von Moritz Cantor. In 4 Bänden, gr. 8. I. Band. Von den

ältesten Zeiten bis zum Jahre 1200 n. Chr. 3. Aufl. Mit 114 Figuren
im Text und 1 lithogr. Tafel. [VI u. 941 S.] 1907. geb. n. M. 24.—, in
Halbfranz geb. n. A4. 26. — II. Band. Vom Jahre 1200 his zum Jah-
re 1668. 2. verb. u. verm. Aufl. Mit 190 Figuren im Text. [XII u. 943
S.] gr. 8. 1900. geb. n. M. 26.—, in Halbfranz geb. n. M. 28.— III.
Band. Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758. 2. verb. u. verm. Aufl.
Mit 146 Figuren im Text. [X u. 923 S.] gr. 8. 1901. geb. n. M. 25.—, in
Halbfranz geb. n. Ai. 27. — IV. Band. Vom Jahre 1759 his zum Jahre
1799. Herausgegeben unter Mitwirkung der Herren V. Bobynin, A.
v. Braunmühl, F. Cajori, S. Günther, V. Kommerell, G. Loria,
E. Netto, G. Vivanti, und C. R. Wallner von M. Cantor. Mit 100
Figuren im Text. [VI uv 1113 S.] 1908. geb. n. M. 32.—, in Halbfranz
geb. n. M. 35 —

»Einen hervorragenden Platz unter den neueren Veröffentlichungen über die Geschich-
te der Mathematik nimmt die zusammenfassende Darstellung ein, die uns Moritz Cantor
geschenkt hat.

Mit rastlosem Fleiß, mit nie ermüdender Geduld, mit der unverdrossenen Liebe des
Sammlers, der auch das scheinbar Geringe nicht vernachlässigt, hat Moritz Cantor dies
kolossale Material gesammelt, kritisch gesichtet, durch eigene Forschungen ergänzt, nach
einheitlichen Grundsätzen und einheitlichem Plan zu einem Ganzen verschmolzen, und
indem er in seltener Unparteilichkeit bei strittigen Fragen, deren die Geschichte der Ma-
thematik so viele hat, auch die abweichenden Ansichten zu Wort kommen ließ, hat er ein
Werk geschaffen, das die reichste Quelle der Belehrung, der Anregung für einen jeden ist,
der sich über einen geschichtlichen Fragepunkt Rat holen, der an der Geschichte der Ma-
thematik mitarbeiten will. . . « (Aus den Göttingischen gelehrten
Anzeigen.)

Encyklopädie der Elementar-Mathematik.

Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von

Dr. Heinrich Weber und Dr. Joseph Wellstein,

Professoren an der Universität Straßburg i. E.
In drei Bänden, gr. 8. In Leinw. geb.

I. Elementare Algebra und Analysis. Bearbeitet von H. We-
ber. 2. Auflage. Mit 88 Textfiguren. [XVIII u 539 S.] 1906. n. M. 9.60.

IL Elemente der Geometrie. Bearbeitet von H. Weber, J.
Wellstein und W. Jacobsthal. 2. Auflage. Mit 261 Textfiguren [XII
u. 596 S.] 1907. n. M. 12.-

III. Angewandte Elementar-Mathematik. Bearbeitet von H.
Weber, J. Wellstein und R. H. Weber (Rostock). Mit 358 Textfi-
guren. [XIII u. 666 S.] 1907 n. M. 14.-

Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wis-
senschaftlichen Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist,
das, was er später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen
und damit den Wert dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu
erhöhen. — Das Ziel dieser Arbeit ist nicht in der Vergrößerung des Um-
fanges der Elementar-Mathematik zu ersehen oder in der Einkleidung
höherer Probleme in ein elementares Gewand, sondern in einer strengen
Begründung und leicht faßlichen Darlegung der Elemente. Das Werk ist
nicht sowohl für den Schüler selbst als für den Lehrer und Studierenden
bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen auch eine für
den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung
der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

» . . . Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge ver-
leihen. Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende
Behandlung erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht
anzutreffen ist. . . . Das zweite Moment ist in dem Umstände zu erblicken, daß die Verfas-
ser es nicht darauf angelegt haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats
an geometrischen Sätzen, Konstruktionen und Rechnungen zu geben, sondern daß es ih-
nen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem Material die wissenschaftlichen Methoden
der Geometrie zur Geltung zu bringen und überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist
so die theoretische Seite, namentlich in einigen Abschnitten, stark zum Ausdruck gekom-
men, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse Rücksicht genommen, die freilich
erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden sollen, doch ist dafür an
verschiedenen Stellen, so in der Trigonometrie und in der analytischen Geometrie schon
vorgearbeitet worden. ... So darf der Inhalt des zweiten Bandes der »Encyklopädie der
Elementar-Mathematik« als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die Grenzen
dessen, was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinausführt, der aber auch — und
das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes — eine Vertiefung des
geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch ge-
wiß oft und mit Nutzen zu Rate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell
wichtigen Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.

Eines verdient noch besonders hervorgehoben zu werden das ist die reiche Ausstat-
tung mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung der
verschiedenen Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Eu-
ler'schen, Möbius'schen und Study'schen Dreiecke sehr zu statten. «(Zeltschrift für das
Realschulwesen. )

» . . . Daß ein Hochschullehrer von der Bedeutung des Verfassers die Elementar-
Mathematik von höherer Warte aus behandelt und mustergültig darstellt, ist selbst-
verständlich. Jeder Lehrer, jeder Studierende muß das Werk, welches nicht nur in
methodischer, sondern auch in systematischer Hinsicht von Bedeutung und daher eine
wichtige Erscheinung der elementaren mathematischen Literatur ist, besitzen und studie-
ren.« (Zeitschrift für lateinlose höhere
Schulen.)

» . . . Die Encyklopädie will kein Schulbuch im gewöhnlichen Sinne des Wortes sein, ist
aber zur Vorbereitung auf den Unterricht, namentlich in den oberen Klassen, den Lehrern
der Mathematik dringend zu empfehlen, welche die bezüglichen Originalarbeiten nicht alle
selbst studiert haben, sich aber doch orientieren wollen, wie vom Standpunkte der mo-
dernen Wissenschaft die Begriffsbildungen, Methoden und Entwicklungen der Elementar-
Mathematik zu gestalten sind.«

(C. Färber Im Archiv der Mathematik und Physik.)

End of the Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der
Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies

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LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
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opportunities to fix the problem.

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the applicable State law. The invalidity or unenf orceability of any
Provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

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providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modif ication, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.

Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of Computers
including obsolete, old, middle-aged and new Computers. It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm' s
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come. In 2001, the Project

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Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.

Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501 (c) (3) educational Corporation organized under the laws of the
State of Mississippi and granted tax exempt Status by the Internal
Revenue Service. The Foundation' s EIN or federal tax identif ication
number is 64-6221541. Its 501 (c) (3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising. Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the füll extent
permitted by U.S. federal laws and your State 's laws.

The Foundation' s principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations. Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org. Email contact links and up to date contact
Information can be found at the Foundation' s web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact Information:
Dr . Gregory B . Newby
Chief Executive and Director
gbnewby@pglaf . org

Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment . Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
Status with the IRS .

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States. Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements. We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance. To
SEND DONATIONS or determine the Status of compliance for any
particular State visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition

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against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any Statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States. U.S. laws alone swamp our small staf f .

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses . Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate

Section 5. General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works .

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone . For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support .

Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a Copyright notice is included. Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.

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